Bài toán chi tiết
Bài 89 (Đề thi chọn Học sinh giỏi THCS Thành phố Lào Cai 2024 - 2025)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1101
BẢN INCho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB \gt AC\) nội tiếp đường tròn \((O)\), có đường cao \(AH\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Đường thẳng \(AI\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \((O)\). Đường thẳng \(MK\) cắt các đường thẳng \(AH\) và \(BC\) thứ tự tại \(P\) và \(Q\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\).
a) Chứng minh: \(FA.FM=FH.FQ\).
b) Chứng minh: \(\triangle AKP\) cân.
c) Chứng minh: \(MB^2=MK . MQ\) và tứ giác \(QIHP\) nội tiếp.
d) Đường thẳng \(KI\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(R\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AR\). Chứng minh ba điểm \(Q,I,E) thẳng hàng.
Cách giải 1
a) Do \(\widehat{A H Q}=\widehat{A M Q}\) nên \(A H M Q\) nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{F A H}=\widehat{F Q M} \Rightarrow \triangle F A H \omega_{\triangle} F Q M\) \(\Rightarrow \frac{F A}{F H}=\frac{F Q}{F M} \Rightarrow F A \cdot F M=F H \cdot F Q\).
b) Goi: \(N=A H \cap(Q) \Rightarrow K N / / B C\) (vì \(K N, B C\) cùng \(\perp A H)\)
\(\Rightarrow B K=C N\) mà \(M\) là điểm chính giữa cung BC nên \(M B=M C\)
\(\Rightarrow M K=M N \Rightarrow \widehat{M A P}=\widehat{M K N}=\widehat{M N K}=\widehat{M A K}\)
mà \(A M \perp K P \Rightarrow \triangle A K P\) cân tại \(A\).
c) \(\widehat{K B M}=\dfrac{1}{2} \mathrm{sd} \overparen{K M}=\dfrac{1}{2} \mathrm{sd} \widehat{M N}=\widehat{M A N}=\widehat{M Q B}\)
\(\Rightarrow M B\) là tiếp tuyến của đường tròn \((\mathrm{QBK}) \Rightarrow M B^2=M K \cdot M Q\)
*Ta có tính chất quen thuộc: \(M I=M B\)
Theo trên: \(M I^2=M P^2=M K \cdot M Q=M P \cdot M Q\)
\(\Rightarrow \widehat{Q I P}=90^{\circ}\) mà \(\widehat{Q H P}=90^{\circ} \Rightarrow\) QIHP nội tiếp
d) Ta có \(\widehat{A R}=90^{\circ}-\widehat{A D D}=90^{\circ}-K I M=90^{\circ}-\widehat{P I M}\)
\(=I \widehat{P Q}=I \widehat{H Q}\)
\(\Rightarrow A I H R\) nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{A I R}=\widehat{A H R}=90^{\circ}\)
Ta có \(\widehat{A I E}=\widehat{D A I}=\widehat{I K M}=\widehat{I P Q}=\widehat{Q I M}\)
\(\Rightarrow Q, I, E\) thẳng hàng
