Bài toán chi tiết

Bài 1005 (Đề thi Chuyên toán lớp 10 KHTN năm học 2022 - Vòng 1)

02-05-2025 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1116

Cách giải 1

a) Đặt \(a=6 x\) và \(b=5 y\), phương trình đã cho có thể được viết lại thành

\[ b^2+59 a+60=a^2+61 b+(b-a)^{2022} \]

hay

\[ (b-a-1)(a+b-60)=(b-a)^{2022} \]

Từ đây, dễ thấy \(b-a-1 \neq 0\). Cũng từ \((1)\), ta suy ra \((b-a)^{2022}\) chia hết cho \(b-a-1\). Mà \((b-a, b-a-1)=1\) nên \(b-a-1 \in\{1,-1\}\), hay \(b-a \in\{2,0\}\).

- Với \(b-a=0\), từ phương trình (1), ta có \(a+b=60\). Suy ra \(a=b=30\), tức \(x=5\) và \(y=6\). Thử lại, ta thấy thỏa mãn.

- Với \(b-a=2\), từ phương trình (1), ta có \(a+b-60=2^{2022}\). Do đó \(b=2^{2021}+31\). Tuy nhiên, ta lại có \(2^{2021}+31 \equiv 3(\bmod 5)\) nên \(b \equiv 3(\bmod 5)\), mâu thuẫn.

Vậy chỉ có duy nhất một cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn yêu cầu là \((5,6)\).

b) Có thể thấy rằng, sau mỗi lần thêm bi, số viên bi tăng thêm 9 viên bi. Do đó, tổng số viên bi ở tất cả các hộp không thay đổi số dư khi chia cho 9 . Suy ra tổng số viên bi ở tất cả các hộp luôn chia hết cho 9 .

Nếu số viên bi ở các hộp là \(0,1, \ldots, 7\) thì tổng số viên bi ở tất cả các hộp là \(0+1+\cdots+7=28\), chia 9 dư 1 , mâu thuẫn. Do đó, tổng số viên bi ở các hộp không nhỏ hơn \(1+2+\cdots+8=36\). Từ đây, suy ra số lần thêm bi không ít hơn \(\dfrac{36}{9}=4\).

Mặt khác, ta thấy cách thêm bi như sau thỏa mãn sau bốn lần số viên bi ở các hộp lần lượt là 1 , \(2, \ldots, 8\) (các hộp giữ nguyên thứ tự trong suốt quá trình thêm bi):

- Lần 0: \(0,0,0,0,0,0,0,0\).

- Lần 1: \(1,2,3,3,0,0,0,0\).

- Lần 2: 1, 2, 3, 6, 3, 2, 1, 0 .

- Lần 3: \(1,2,3,6,6,5,3,1\).

- Lần 4: 1, 2, 3, 6, 7, 8, 5, 4 .

Vậy số lần thêm bi ít nhất là 4 lần.