Bài toán chi tiết

Bài 352 (Tạp chí toán tuổi thơ số 262 tháng 12/2024)

17-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1095

Cách giải 1

1) Cho \(a=0, b=-1, c=1\) thì \(a+b+c=0\) và \(a^{17}+b^{17}+c^{17}=0\) là một số chính phương.

2) Giả sử tồn tại các số nguyên a, b, c không đồng thời bằng 0 , có tổng bằng 0 , thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt \(x=a^3-b^3, y=b^3-c^3\), ta có

\[\begin{aligned}& \frac{a^6+b^6+c^6-a^3 b^3-b^3 c^3-c^3 a^3}{2} \\& =\frac{\left(a^3-c^3\right)^2-\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)}{2} \\& =\frac{(x+y)^2-x y}{2}=\frac{x^2+x y+y^2}{2}\end{aligned}\]

Do đó, từ giả thiết, suy ra \(x^2+x y+y^2=2 z^2\) với \(z\) là số tự nhiên.

Nếu \(x=y=0\) thì \(a=b=c\), mà \(a+b+c=0\) nên \(\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}=0\), mâu thuẫn. Do đó, trong hai số \(x, y\) có ít nhất một số khác 0 . Từ đây, suy ra tồn tại số nguyên \(d\) sao cho \(d=(x, y, z)\). Đặt \(x=d m, y=d n, z=d p\) với \(m, n, p\) nguyên và \((m, n, p)=1\). Khi đó, ta có \(m^2+m n+n^2=2 p^2\), suy ra \(m^2+m n+n^2\) chẵn.

Nếu trong hai số \(m, n\) có ít nhất một số lẻ thì \(\mathrm{m}^2+\mathrm{mn}+\mathrm{n}^2\) lẻ, mâu thuẫn. Vî thế m , n đều là các số chẵn, suy ra \(\mathrm{m}^2+\mathrm{mn}+\mathrm{n}^2\) chia hết cho 4. Từ phương trình trên, ta có \(2 p^2\) chia hết cho 4 , do đó \(p\) là số chẵn. Như vậy, cả ba số \(\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}\) đều chắn, mâu thuẫn vì \((m, n, p)=1\). Vậy không tồn tại các số nguyên \(a, b, c\) thỏa mãn yêu cầu.

Nhận xét. Trong ý 1 , ta có thể thay giả thiết \(a, b, c\) không đồng thời bằng 0 bởi giả thiết \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) khác 0. Lúc này ta chọn \(a=b=2-2^{17}\) và \(\mathrm{c}=2\left(2^{17}-2\right)\) là đước. Các ban sau đều có