Bài toán chi tiết

Bài 861 (Đề thi vào 10 PTTH Chuyên toán Bắc Giang 2023 - 2024)

| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1097

BẢN IN

1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương \((x ; y ; z)\) thóa mãn phương trình sau: \(x^3+y^3+x^2(3 y+2 z) +y^2(3 x+2 z) +z^2(x+y)+4 x y z=2023\)

2. Trên mặt phẳng cho \(2 \times 2024\) điểm phân biệt, trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Nguời ta tô 2024 điểm trong các điểm đã cho bằng màu đỏ và tô 2024 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng, bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2024 đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là một cặp điểm đỏ xanh) sao cho hai đoạn thẳng bất kỳ trong đó không có điểm chung.

Cách giải 1

1. Ta có:

\( x^3+y^3+x^2(3 y+2 z) +y^2(3 x+2 z) +z^2(x+y)+4 x y z=2023\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3 x^2 y+2 x^2 z+3 x y^2+2 y^2 z+z^2 x +z^2 y+4 x y z=2023\)

\(\Leftrightarrow(x+y)^3+2 z(x+y)^2+z^2(x+y)=2023\)

Vì \(x, y, z\) nguyên dương nên ta có: \(x+y+z>x+y>0 \). Do đó: \(\left\{\begin{array}{l}x+y=7 \\ x+y+z=17\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=7 \\ z=10\end{array}\right.\right.\).

Có \(x+y=7\) mà \(x, y\) nguyên dương nên ta có:

x123456
y654321

Kết luận: Các bộ số cần tìm là: \((1 ; 6 ; 10)\); \((2 ; 5 ; 10) ;(3 ; 4 ; 10) ;(4 ; 3 ; 10) ;(5 ; 2 ; 10) ;(6 ; 1 ; 10)\).

2. Xét tất cả các cách nối 2024 cặp điểm (đỏ với xanh) bằng 2024 đoạn thẳng. Các cách nối như vậy luôn luôn tồn tại và do chỉ có 2024 cặp điểm nên số tất cả các cách nối như vậy là hữu hạn. Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất. Ta chứng minh rằng đây là cách nối phải tìm:

Thật vậy, giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng \(A X\) và \(B Y\) mà cắt nhau tại điểm \(O\) (Giả sử \(A\) và \(B\) tô màu đỏ, còn \(X\) và \(Y\) tô màu xanh). Khi đó, nếu ta thay đoạn thẳng \(A X\) và \(B Y\) bằng hai đoạn thẳng \(A Y\) và \(B X\), các đoạn khác giữ nguyên thì ta có cách nối này có tính chất:

\(A Y+B X \lt (A O+O Y)+(B O+O X) = (A O+O X)+(B O+O Y) \Rightarrow A Y+B X \lt A X+B Y\)

Như vậy; việc thay hai đoạn thẳng \(A X\) và \(B Y\) bằng hai đoạn thẳng \(A Y\) và \(B X\), ta nhận được một cách nối mới có tổng độ dài các đoạn thẳng là nhỏ hơn. Vô lý, vì trái với giả thiết là đã chọn một cách nối có tổng các độ dài là bé nhất.

Điều vô lý đó chứng tỏ: Cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất là không có điểm chung.

Tác giả