Bài toán chi tiết

Bài 865 (Đề thi vào 10 PTTH Chuyên toán Hà Nội 2023 - 2024)

20-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1097

Cách giải 1

1. Từ giả thiết ta thấy trong ba số \(a, b, c\) có ít nhất một số chẵn \(\Rightarrow a b c: 2\) (1).

Ta thấy trong ba số \(a, b, c\) tồn tại ít nhất một số chia hết cho 3 . Thật vậy, nếu cả 3 số \(a, b, c\) đều không chia hết cho 3 , suy ra:

\[\begin{aligned}a^2 \equiv 1(\bmod 3), b^2 & \equiv 1(\bmod 3), c^2 \equiv 1(\bmod 3) \\a^2+b^2+c^2-2 a b c & \equiv 3-2 a b c(\bmod 3) \\& \equiv-2 a b c(\bmod 3) \neq 0(\bmod 3),\end{aligned}\]

điều này mâu thuẫn với giả thiết

\(a^2+b^2+c^2-2 a b c \vdots 6\) nên \(a^2+b^2+c^2-2 a b c \vdots 3\)

Giả sử \(a \vdots 3 \Rightarrow b^2+c^2: 3\). Do \(b^2 \equiv 0,1(\bmod 3)\), \(c^2 \equiv 0,1(\bmod 3)\) nên \(b\) và \(c\) chia hết cho 3 . Suy ra \(a b c: 27\) (2).

Do \((2,27)=1\) nên từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(a b c: 54\).

2. Ta có:

\[\begin{aligned}& x^3 y-x^2 y-4 x^2+5 x y-y^2=0 \\& \Leftrightarrow x y\left(x^2-x+1\right)=(2 x-y)^2\end{aligned}\]

Giả sử \(p\) là ước nguyên tố chung của \(x y\) và \(x^2-x+1 \Rightarrow p=1\) (vô lí). Suy ra:

\[\left(x y, x^2-x+1\right)=1\]

Do đó \(x^2-x+1\) và \(x y\) là các số chính phương. Suy ra: \(\left\{\begin{array}{l}x^2-x+1=1 \\ x y=(2 x-y)^2\end{array}\right.\)

hoặc \(\left\{\begin{array}{l}x^2-x+1=(2 x-y)^2 \\ x y=1\end{array}\right.\). Tìm được \(x=1\) và \(y=1\) hoặc \(x=1\) và \(y=4\). Mặt khác, khi \(a=0 ; b=0 ; c=\frac{1}{3}\) thì \(P=\frac{2}{3}\). Thử lại ta có hai cặp số \((x, y)\) thỏa mãn bài toán là:

\[(x, y)=(1,1) \text { và }(x, y)=(1,4)\]