Bài toán chi tiết
Bài 88 (Đề thi chọn Học sinh giỏi THCS Thành phố Lào Cai 2024 - 2025)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1116
BẢN IN1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n > 3\) thì \(A = n^3 - n^2 - n - 2\) không phải là số nguyên tố.
2) Cho \(x, y\) là các số nguyên thỏa mãn \(3xy(x - y) + 1\) chia hết cho 3. Chứng minh \(x + y\) chia hết cho 3.
3) Tìm tất cả các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn phương trình: \[ 6x^2 - xy - 2y^2 + 4x + 2y - 7 = 0. \]
Cách giải 1
1. Ta có \(A=n^3-n^2-n-2=(n-2)\left(n^2+n+1\right)\)
Mà \(n>3\) nên \(n-2>1\) và \(n^2+n+1>1 \Rightarrow A\) là hợp số
2. Do \(x y(x-y)+1 \vdots 3\) nên \(x y(x-y) \div 3 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x \neq 0(\bmod 3) \\ y \neq 0(\bmod 3) \\ x \neq y(\bmod 3)\end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x \equiv 1(\bmod 3) \\ y \equiv 2(\bmod 3)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x \equiv 2(\bmod 3) \\ y \equiv 1(\bmod 3)\end{array}\right.\end{array}\right.\right.\)
\(\Rightarrow x+y: 3\)
3. Ta có
\[\begin{aligned}& 6 x^2-x y-2 y^2+4 x+2 y-7=0 \\ \Leftrightarrow & (2 x+y)(3 x-2 y)+2(2 x+y)-7=0 \\ \Leftrightarrow & (2 x+y)(3 x-2 y+2)=7\end{aligned}\]
Vậy \((x, y)=(1 ;-1)\) là nghiệm duy nhất
Cách 2:
\[\begin{aligned}& 6 x^2+(-y+4) x-2 y^2+2 y-7=0 \\& \Delta=(-y+4)^2-24\left(-2 y^2+2 y-7\right)=49 y^2-56 y+184=(7 y-4)^2+168\end{aligned}\]
Để phương trình có nghiệm nguyên thi \(\Delta\) là số chính phương tồn tại số tự nhiên \(z\) mà :
\[\Delta=z^2 \Rightarrow z^2-(7 y-4)^2=168 \Leftrightarrow(z+7 y-4)(z-7 y+4)=168 ; z>|7 y-4|\]
Do \(z+7 y-4\) và \(z-7 y+4\) cùng tính chẵn lè.
Nên ta xét các trường hợp \(2 \times 84 ; 4 \times 42\) ta có \(x=1, y=-1\) là nghiệm duy nhất
