Bài toán chi tiết
Bài 993 (Đề thi Chuyên toán lớp 10 KHTN năm học 2024 - Vòng 2)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1176
BẢN INa) Tất cả các số nguyên dương \(x, y\) thỏa mãn
\[ (x+y)^3+6 x y+3 y^2+y=8 x^3+9 x^2+1 \]
b) Xét các số thực dương \(x_1, x_2, \ldots, x_{2024}\) thỏa mãn \(x_1 x_2 \cdots x_{2024}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ P=\left(x_1^2-x_1+1\right)\left(x_2^2-x_2+1\right) \cdots\left(x_{2024}^2-x_{2024}+1\right) \]
Cách giải 1
a) Phương trình đã cho có thể được viết lại thành
\[ (x+y)^3+3(x+y)^2+6 x+y=(2 x+1)^3 \]
Suy ra \((x+y)^3+3(x+y)^2+6 x+y\) là số lập phương. Mà
\[ (x+y)^3<(x+y)^3+3(x+y)^2+6 x+y<(x+y)^3+6(x+y)^2+12(x+y)+8=(x+y+2)^3 \]
nên \((x+y)^3+3(x+y)^2+6 x+y=(x+y+1)^3\), hay \(3 x=2 y+1\).
Ngoài ra, từ kết quả trên, ta cũng có \((x+y+1)^3=(2 x+1)^3\) nên \(x+y+1=2 x+1\).
Từ đây, ta dễ dàng suy ra \(x=y=1\). Thử lại, ta thấy thỏa mãn. Vậy, có duy nhất một cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \((1,1)\).
b) Với mỗi số thực dương \(x\), ta có \(x^2-x+1=(x-1)^2+x \geq x\). Sử dụng bất đẳng thức này, ta có \(P \geq x_1 x_2 x_3 \cdots x_{2024}=1\). Mặt khác, với \(x_1=x_2=\cdots=x_{2024}=1\) thì \(P=1\). Vậy \(\min P=1\).
Bình luận. Ngoài cách làm trên, ý a) của bài toán còn có cách làm khác như sau: Phương trình có thể được viết lại thành \((x+y)^3-8 x^3+\left(3 y^2+6 x y-9 x^2\right)=-(y-1)\), hay
\[ (y-x)\left[(x+y)^2+2 x(x+y)+4 x^2+3(y+2 x)\right]=-(y-1) \]
Từ đây, ta suy ra \(y-1\) chia hết cho \((x+y)^2+2 x(x+y)+4 x^2+3(y+2 x)\). Tuy nhiên, vì \(0 \leq y-1<y<(x+y)^2+2 x(x+y)+4 x^2+3(y+2 x)\) nên điều này xảy ra chỉ khi \(y=1\). Thay trở lại phương trình, ta được \(x=y=1\).
