| 3 Comments | Đặng Chung Kiên
Trong số 440 (T2/2014 - Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ) mục "Bất đẳng thức mở và công hiệu to" của tác giả Vũ Quang Minh đã đưa ra cách chứng minh một số bất đẳng thức ba biến nhờ việc áp dụng bất đẳng thức cơ bản: \[ a^2 + b^2 \geq 2ab + ab^2. \] Trong quá trình tìm tòi lời giải chứng tôi cũng hướng tới một cách chứng minh cũng khá đơn giản bằng cách đưa về tổng các bình phương \((A^2 + mB^2 + nC^2 + p)\) với \(m+n+p=0\). Đây cũng là cách khá thú vị trong các bài toán bất đẳng có ba biến đối xứng hoán vị vòng quanh. Xin lấy lại các dữ liệu đó trong bài báo để nhưng với cách giải khác chỉ cần vận dụng các bất đẳng thức và một số kỹ thuật biến đổi. \section*{Bài toán 1} Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[ \frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} + \frac{c^3}{c^2 + ca + a^2} \geq \frac{a + b + c}{3} \tag{1} \] \textbf{Lời giải:} \[ \text{(1) } \Rightarrow \frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} - \frac{a}{3} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} - \frac{b}{3} + \frac{c^3}{c^2 + ca + a^2} - \frac{c}{3} \geq 0. \] Xét hiệu: \[ \frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} - \frac{a}{3} = \frac{2a^3 - a^2b - ab^2}{3(a^2 + ab + b^2)} = \frac{a(a - b)^2}{3(a^2 + ab + b^2)}. \] Do đó, \[ \frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} - \frac{a}{3} + \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} - \frac{b}{3} + \frac{c^3}{c^2 + ca + a^2} - \frac{c}{3} = \frac{a(a - b)^2 + b(b - c)^2 + c(c - a)^2}{3(a^2 + ab + b^2)} \geq 0. \] Tương tự có: \[ \frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} - \frac{b}{3} = \frac{b(b - c)^2}{3(b^2 + bc + c^2)}, \] \[ \frac{c^3}{c^2 + ca + a^2} - \frac{c}{3} = \frac{c(c - a)^2}{3(c^2 + ca + a^2)}. \] Cộng lại ta có: \[ \frac{a(a - b)^2}{3(a^2 + ab + b^2)} + \frac{b(b - c)^2}{3(b^2 + bc + c^2)} + \frac{c(c - a)^2}{3(c^2 + ca + a^2)} \geq 0. \] Bất đẳng thức này luôn đúng, ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\). \textbf{Nhận xét.} Mặc dù các hiệu: \(a - b\), \(b - c\), \(c - a\) chưa chắc đã không âm, nhưng tổng 3 hiệu đó bằng 0. \section*{Bài toán 2} Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[ \frac{3a^2 + 7b^2}{2a + 3b} + \frac{3b^2 + 7c^2}{2b + 3c} + \frac{3c^2 + 7a^2}{2c + 3a} \geq 3 \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c}. \tag{2} \] \textbf{Lời giải.} Bất đẳng thức \((2)\) tương đương với: \[ \frac{3a^2 + 7b^2}{2a + 3b} + \frac{3b^2 + 7c^2}{2b + 3c} + \frac{3c^2 + 7a^2}{2c + 3a} - \frac{a^2 + b^2 + c^2}{a + b + c} \geq 0. \] Xét: \[ \frac{3a^2 + 7b^2}{2a + 3b} - \frac{a^2 + b^2}{a + b} = \frac{(3a + 2b)(a - b)^2}{(2a + 3b)(a + b)}. \] Tương tự: \[ \frac{3b^2 + 7c^2}{2b + 3c} - \frac{b^2 + c^2}{b + c} = \frac{(3b + 2c)(b - c)^2}{(2b + 3c)(b + c)}, \] \[ \frac{3c^2 + 7a^2}{2c + 3a} - \frac{c^2 + a^2}{c + a} = \frac{(3c + 2a)(c - a)^2}{(2c + 3a)(c + a)}. \] Cộng lại ta có: \[ \frac{(a + b)(a - b)^2}{2a + 3b} + \frac{(b + c)(b - c)^2}{2b + 3c} + \frac{(c + a)(c - a)^2}{2c + 3a} \geq 0. \] Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\). \section*{Bài toán 3} Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[ \frac{19b^2 - a}{ab + 5b^2} + \frac{19c^2 - b}{bc + 5c^2} + \frac{19a^2 - c}{ca + 5a^2} \geq 3(a + b + c). \tag{3} \] \textbf{Lời giải.} Bất đẳng thức \((3)\) tương đương với: \[ \frac{3b - (19b^2 - a)}{ab + 5b^2} + \frac{3c - (19c^2 - b)}{bc + 5c^2} + \frac{3a - (19a^2 - c)}{ca + 5a^2} \geq 0. \] Xét hiệu: \[ \frac{3b - 19b^2 + a}{ab + 5b^2} = \frac{3ab - 19b^2 + a^2}{ab + 5b^2} = \frac{(a + b)(a - b)^2}{ab + 5b^2} + a - b. \] Tương tự: \[ \frac{3c - 19c^2 + b}{bc + 5c^2} = \frac{(b + c)(b - c)^2}{bc + 5c^2} + b - c, \] \[ \frac{3a - 19a^2 + c}{ca + 5a^2} = \frac{(c + a)(c - a)^2}{ca + 5a^2} + c - a. \] Cộng lại ta có: \[ \frac{(a + b)(a - b)^2}{ab + 5b^2} + \frac{(b + c)(b - c)^2}{bc + 5c^2} + \frac{(c + a)(c - a)^2}{ca + 5a^2} \geq 0. \] Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\). \section*{Bài toán 4} Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[ \frac{4a^2 + 5b^2 - 3a^2b + 10ab^2}{3a + b} + \frac{4b^2 + 5c^2 - 3b^2c + 10bc^2}{3b + c} + \frac{4c^2 + 5a^2 - 3c^2a + 10ca^2}{3c + a} \geq 5(a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ca). \tag{4} \] \textbf{Lời giải.} Xét hiệu: \[ \frac{4a^2 + 5b^2 - 3a^2b + 10ab^2}{3a + b} - 5a^2 + b^2 = \frac{5b^3 - 5a^2b + 11ab^2 - 11a^2}{3a + b}. \] \[ \frac{(b + a)(b - a)^2}{3a + b} + 4(b^2 - a^2). \] Tương tự: \[ \frac{4b^2 + 5c^2 - 3b^2c + 10bc^2 - 5b^2 + bc}{3b + c} = \frac{(c + b)(c - b)^2}{3b + c} + 4(c^2 - b^2), \] \[ \frac{4c^2 + 5a^2 - 3c^2a + 10ca^2 - 5c^2 + ac}{3c + a} = \frac{(a + c)(a - c)^2}{3c + a} + 4(a^2 - c^2). \] Cộng lại ta có: \[ \frac{(b + a)(b - a)^2}{3a + b} + \frac{(c + b)(c - b)^2}{3b + c} + \frac{(a + c)(a - c)^2}{3c + a} \geq 0. \] Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c\). \section*{Bài toán 5} Với \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng: \[ \frac{a^2}{a + b} + \frac{b^2}{b + c} + \frac{c^2}{c + a} \geq \frac{3}{2}. \tag{5} \] \textbf{Lời giải.} Bất đẳng thức \((5)\) tương đương với: \[ \frac{a^2}{a + b} + \frac{b^2}{b + c} + \frac{c^2}{c + a} - \frac{a + b + c}{2} \geq 0. \] \[ \Rightarrow \frac{\left( \frac{a}{a + b} - \frac{a}{4} \right) + \left( \frac{b}{b + c} - \frac{b}{4} \right) + \left( \frac{c}{c + a} - \frac{c}{4} \right)}{2} \geq 0. \] Xét hiệu: \[ \frac{a^2}{a + b} - b^2 + \frac{3a^2 - 2ab - b^2}{a + b} = \frac{(a - b)^2}{4(a + b)} + \frac{a - b}{2}. \] Tương tự: \[ \frac{b^2}{b + c} - \frac{(b - c)^2}{b - c}, \quad \frac{c^2}{c + a} = \frac{c - a}{2}. \] Cộng lại ta có: \[ \frac{(b + a)(b - a)^2}{3a + b} + \frac{(c + b)(c - b)^2}{3b + c} + \frac{(a + c)(a - c)^2}{3c + a} \geq 0. \] Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c = 1\). \section*{Bài toán 6} Cho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}. \tag{6} \] \textbf{Lời giải.} Bất đẳng thức \((6)\) tương đương với \[ \frac{1}{2} \left( \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} - 1 \right) \geq \frac{1}{2} \left( \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} - 1 \right) \geq 0. \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2} \left( \frac{(a - b)^2 + ab - c^2}{(b + c)(c + a)} + \frac{(b - c)^2 + bc - a^2}{(c + a)(a + b)} \right) \geq 0 \] \[ = \frac{(a - b)^2}{2(b + c)(c + a)} + \frac{(b - c)^2}{2(c + a)(a + b)} + \frac{(c - a)^2}{2(a + b)(b + c)} \geq 0 \] Cộng lại ta có \[ \frac{ab - c^2}{2(b + c)(c + a)} + \frac{bc - a^2}{2(c + a)(a + b)} + \frac{ca - b^2}{2(a + b)(b + c)} = 0. \] \textit{Đơn giản nhưng thú vị do là điều chứng tôi thích ở phương pháp này. Các bài toán trên chắc sẽ còn nhiều} Hy vọng các bạn tìm ra cách chứng minh đơn giản và phù hợp hơn góp phần làm "đẹp" thêm cho Toán học. Để kết thúc mời các bạn cùng luyện qua một số bài tập sau: \section*{Bài tập tự luyện} \textbf{Bài 1.} Cho các số thực \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn: \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\). Chứng minh rằng \[ \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}. \] \textbf{Bài 2.} Cho \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng \[ \frac{21a^2 - b^2}{ab + 3a^2} + \frac{21b^2 - c^2}{bc + 3b^2} + \frac{21c^2 - a^2}{ca + 3c^2} \geq 5(a + b + c). \] \textbf{Bài 3.} Cho \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng \[ \frac{a^3}{2a^2 + ab + 2b^2} + \frac{b^3}{2b^2 + bc + 2c^2} + \frac{c^3}{2c^2 + ca + 2a^2} \geq \frac{a + b + c}{3}. \]
