| 3 Comments | Đặng Chung Kiên
Các bài toán cực trị của một vị trí khá quan trọng Đã có rất nhiều tài liệu, sách, báo nói về vấn đề này. Bài này trình bày một số sai lầm thường thấy của học sinh khi tìm cực trị của biểu thức chứa biến và một vài dạng toán tìm cực trị đại số. Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x, y)... Ta kí hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P trên tập xác định của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP. I. Các kiến thức thường dùng: Cho P = A + B thì \[ \max P = \max A + \max B và \min P = \min A + \min B, \] trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến x. Nếu giá trị cực đại, cực tiểu đạt được tại cùng giá trị xác định \[x = x_0\], tức là \[ \max P = P(x_0), \quad \max A = A(x_0), \quad \max B = B(x_0). \] Tức là: Cho \[P = \frac{1}{A}\] với A > 0 thì \[ \max P = \frac{1}{\min A}. \] \item \begin{enumerate} \item $\displaystyle \sum_{i=1}^n \left\lfloor f(x) \right\rfloor^{2k} + m \geq m,$ \item $M - \displaystyle \sum_{i=1}^n \left\lfloor f(x) \right\rfloor^{2k} \leq M,$ \end{enumerate} với $k \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{R}, M \in \mathbb{R}.$ \item Nếu $A \geq 0$ thì \[ \max(A^2) = (\max A)^2, \quad \min(A^2) = (\min A)^2. \] \item Các dạng của bất đẳng thức Cô-si: \begin{enumerate} \item $a + b \geq 2\sqrt{ab} \,\, (a \geq 0, b \geq 0);$ Đẳng thức xảy ra khi $a = b$, \item $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \,\, (a > 0, b > 0);$ Đẳng thức xảy ra khi $a = b.$ \end{enumerate} \item Bất đẳng thức Bunhiacốpxki: \[ (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2; \] Đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}.$ \end{enumerate} Cần chú ý rằng sau khi tìm được giá trị cực đại hoặc cực tiểu của $P$ cần kiểm tra để đảm bảo giá trị đó nằm trong tập xác định của các biến và hàm số. \section*{II - Những sai sót thường gặp khi giải toán tìm cực trị đại số} \textbf{Bài toán 1.} Giả sử hai số thực $x, y$ thỏa mãn $x > y$ và $xy = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[ A = \frac{x^2 + y^2}{x - y}. \] \textbf{Giải.} Ta có: \[ A = \frac{x^2 + y^2}{x-y} = \frac{(x-y)^2 + 2xy}{x-y}. \] Do $x > y$ và $xy = 1$ nên: \[ A = (x-y) + \frac{2xy}{x-y} = (x-y) + \frac{2}{x-y}. \] Theo (5b), $A = z + \frac{2}{z}$ với $z = x-y$. Giá trị nhỏ nhất khi: \[ z = \sqrt{2} \quad \text{nên} \quad \min A = 2\sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}. \] \textbf{Bài giải trên là sai.} Có thể biến đổi như sau: \[ A = x-y + \frac{2}{x-y} \geq 2\sqrt{\frac{x-y \cdot 2}{x-y}} = 2\sqrt{2}, \] Kết quả đúng là $\min A = 2\sqrt{2}$ khi $(x, y)$ là: \[ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}. \] Vậy sai lầm của bài giải trên là biến đổi dẫn đến (*) rằng $2 + \frac{x-y}{z}$ không phải là hằng số mà còn phụ thuộc vào biến $x, y$. --- \textbf{Bài toán 2.} Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[ P = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1. \] Có học sinh đã giải $P = 2(x=+)^x... \section*{II. Những sai sót thường gặp khi giải toán tìm cực trị đại số (tiếp)} \textbf{Bài toán 2 (tiếp).} \[ P = x^2(x+1)^2 + 2(x+1)^2 + x^2 + \frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{1}{2}. \] \[ \Rightarrow \min P = \frac{1}{2} \quad \text{khi } x = -1; \quad x = -\frac{1}{2}. \] Để thấy cách giải này sai vì lúc đó $x$ đồng thời bằng $-1$ và bằng $-\frac{1}{2}$. \textbf{Cách giải đúng như sau:} Vì $x^2 + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ mà $x^2 + x + 1 > 0$, nên: \[ \min((x^2 + x + 1) = \frac{3}{4} \quad \text{khi } x = -\frac{1}{2}. \] Vậy: \[ \min P = \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{16}. \] --- \textbf{Bài toán 3.} Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với $x \geq 1$ và $y \geq 2$: \[ P = x - 2\sqrt{y} + 3y - 2\sqrt{x} + 1977. \] Có học sinh đã giải như sau: Đặt: \[ P = \frac{1}{3}((x-\sqrt{3y})^2 + (\sqrt{x} - 2)^2 + (\sqrt{x} - 1)^2) + \frac{5986}{3}. \] \[ \Rightarrow \min P = \frac{5986}{3} \quad \text{(không thể xảy ra vì $x=1$ và $y=4$)}. \] \textbf{Cách giải đúng như sau:} \[ 3P = 3x - 6\sqrt{x} + 9y - 6\sqrt{3y} + 5991. \] \[ P = \frac{1}{3}((\sqrt{x} - 2)^2 + (\sqrt{x} - 3)^2 + \frac{3991}{2}) \geq \frac{3991}{3}. \] --- \section*{III. Biến đổi một bài toán cực trị} Khi giải một bài toán tìm cực trị ta có thể quy về bài toán gốc đơn giản hơn, hoặc ngược lại từ một bài toán gốc dễ sáng tạo ra bài toán mới phức tạp hơn. \textbf{Bài toán 1.} Cho $x, y \in \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $x^2 + y^2 = 1$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $x+y$. \textbf{Giải.} Từ $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \leq 2(x^2+y^2) = 2$, dẫn đến: \[ \max(x+y) = \sqrt{2}, \quad \min(x+y) = -\sqrt{2}. \] --- Từ bài toán trên có thể biến đổi thành các bài toán khác như sau: \textbf{Bài toán 1.1.} Cho $x^2 + y^2 = 2$. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $S = x + 2y$. \subsection*{Bài toán 1.2.} Cho $4x^2 + 9y^2 = 2$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $S = 2x + 3y$ nếu $x \geq 0, y \geq 0$. --- \subsection*{Bài toán 2.} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ A = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x}. \] \textbf{Hướng dẫn:} Xét $A^2$ với $2 \leq x \leq 4$. --- \subsection*{Bài toán 2.1.} Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ B = \sqrt{x - 2} - \sqrt{6 - 2x}. \] \textbf{Hướng dẫn:} B xác định trên $2 \leq x \leq 3$. Xét: \[ B = \sqrt{x - 2} - \sqrt{6 - 2x}. \] --- \subsection*{Bài toán 2.2.} Giải phương trình: \[ \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x} = 6x + 11. \] \textbf{Giải.} Điều kiện: $2 \leq x \leq 4$. Từ bài toán 2, ta có: \[ \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x} \leq 2. \] Mặt khác: \[ \sqrt{x - 2} + 6x + 11 = (x - 2)^2 = 2. \] Suy ra $x = 3$ là nghiệm duy nhất. --- \subsection*{Bài toán 3.} Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \[ f(x, y, z) = \sqrt{x - 1} - \sqrt{2y - 2} + \sqrt{z - 3}, \] với miền $D = \{(x, y, z) \,|\, 1 \leq x \leq 2, \, 2 \leq y \leq 4, \, z = 3\}$. \textbf{Giải.} \[ f(x, y, z) = \sqrt{x - 1} - \sqrt{y - 2} + \sqrt{z - 3}. \] Vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho từng biến: \[ \sqrt{x - 1} \leq \frac{x - 1}{1}, \] \[ \sqrt{y - 2} \leq \frac{y - 2}{1}. \] Đẳng thức xảy ra khi $x = 2, y = 3, z = 6$. Do đó: \[ \max_{(x, y, z) \in D} f(x, y, z) = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}. \] --- \section*{BÀI TẬP} Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau: \begin{enumerate} \item $A = \frac{x^2 + y^4}{x^2 + y^2}$ với $x > y$ và $xy = 1$. \item $B = x^4 - 3x^2 + \frac{9}{x^2 - x + 1}$. \item $C = x - 2\sqrt{y} + 2y - \sqrt{x}$ với $x \geq y \geq 0$. \end{enumerate} Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ P = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x}. \] Bài 3. Giải phương trình: \[ \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x} = 2 + \sqrt{(x - 2)(4 - x)}. \]
Tác giả
Một người làm toán nghiệp dư, đam mê toán học, thích đắm chìm trong không gian toán học. Toán học mang lại những cảm xúc tuyệt vời khi tìm ra được lời giải cho một bài toán băn khoăn bấy lâu. Toán học rèn luyện tuy duy suy luận tổng quát, các vấn đề liên quan một cách logic và đặc biệt rèn luyện sự sáng tạo và sự bền bỉ.