| 3 Comments | Phạm Việt Bắc
Mở đầu. Trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán, cũng như các kì thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 , lớp 10 , các bài toán về hệ phương trình thường xuyên xuất hiện. Phương pháp cơ bản thường sử dụng để giải các hệ phương trình là sử dụng các phép biến đổi đại số, đặt ẩn phụ để đưa về các hệ phương trình cơ bản. Trong quá trình vận dụng các phương pháp trên nhận thấy thường bắt gặp một số khó khăn .
Xuất phát từ thực tiễn trên cũng như mong muốn hình thành cho các em học sinh thêm kĩ năng giải hệ phương trình nên chúng tôi xin giới thiệu với bạn đọc bài viết: "Kı̃ thuật sủ dụng đồng nhất hệ số trong giải hệ phương trình".
Để bắt đầu tìm hiểu kĩ thuật đồng nhất hệ số ta xem một thí dụ sau:
Thí dụ 1. Giải hệ phuơng trình
\[\left\{\begin{array}{l}\sqrt{7 x+y}+\sqrt{2 x+y}=5 \\x-y+\sqrt{2 x+y}=1\end{array}\right. \]
Lời giải. Điều kiện: \(\left\{\begin{array}{l}7 x+y \geq 0 \\ 2 x+y \geq 0\end{array}\right.\).
Ta có: \(x-y+\sqrt{2 x+y}=1\)
\[\Leftrightarrow \sqrt{2 x+y}+\frac{3}{5}(7 x+y)-\frac{8}{5}(2 x+y)=1 \]
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{7 x+y} \geq 0 \\ b=\sqrt{2 x+y} \geq 0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a^2=7 x+y \\ b^2=2 x+y\end{array}\right.\right.\).
Hệ đã cho trở thành:
\[\left\{\begin{array}{l}a+b=5 \\b+\dfrac{3}{5} a^2-\dfrac{8}{5} b^2=1\end{array}\right.\]
\[\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=5-b \\b+\dfrac{3}{5}(5-b)^2-\dfrac{8}{5} b^2=1\end{array}\right.\]
Suy ra: \(\left\{\begin{array}{l}a=5-b \\ -b^2-5 b^2+14=0\end{array}\right.\)
\[\Rightarrow\left\{\begin{array} { l } { b = 2 } \\{ a = 3 }\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array} { l } { 7 x + y = 9 } \\{ 2 x + y = 4 }\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1 \\y=2\end{array}\right.\right.\right.\]
Vậy hệ đã cho có nghiệm \(\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.\)
Nhận xét. Phải chăng việc biến đổi để giải được hệ phương trình đã cho là ngẫu nhiên do may mắn hay có một sự suy luận hợp lí nào đó giúp ta có lời giải như trên.
Ta đi phân tích nhận xét và các cơ sở để có định hướng lời giải.
Ta phân tích:
\[\begin{aligned}x-y= & m(7 x+y)+n(2 x+y) \\& =(7 m+2 n) x+(m+n) y .\end{aligned}\]
Suy ra: \(\left\{\begin{array}{l}7 m+2 n=1 \\ m+n=-1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}m=\dfrac{3}{5} \\ n=-\dfrac{8}{5}\end{array}\right.\right.\).
Từ đó ta có: \(x-y+\sqrt{2 x+y}=1\)
\[\Leftrightarrow \sqrt{2 x+y}+\frac{3}{5}(7 x+y)-\frac{8}{5}(2 x+y)=1 \]
Thí dụ 2. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An, năm 2014). Giải hệ phương trình
\[\left\{\begin{array}{l}\sqrt{5 x+y}+\sqrt{2 x+y}=3 \\\sqrt{2 x+y}+x-y=1\end{array}\right.\]
Phân tích. Ở đây ta chỉ cần biểu thị \(x-y\) theo \(5 x+y\) và \(2 x+y\). Giả sử:
\[\begin{aligned}& x-y=m(5 x+y)+n(2 x+y) \\& =(5 m+2 n) x+(m+n) y \\\Rightarrow & \left\{\begin{array} { l } { 5 m + 2 n = 1 } \\{ m + n = - 1 }\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}m=1 \\n=-2\end{array}\right.\right.\end{aligned}\]
Từ đó ta có lời giải.
Lời giải. Điều kiện: \(\left\{\begin{array}{l}5 x+y \geq 0 \\ 2 x+y \geq 0\end{array}\right.\).
Ta có: \(\quad\left\{\begin{array}{l}\sqrt{5 x+y}+\sqrt{2 x+y}=3 \\ \sqrt{2 x+y}+x-y=1\end{array}\right.\)
\[\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{5 x+y}+\sqrt{2 x+y}=3 \\\sqrt{2 x+y}+5 x+y-2(2 x+ y)=1\end{array}\right.\]
Đặt:
\[\left\{\begin{array} { l } { a = \sqrt { 5 x + y } \geq 0 } \\{ b = \sqrt { 2 x + y } \geq 0 }\end{array}\right.\]
\[ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a^2+5 x+y \\b^2=2 x+y\end{array}\right.\]
Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{array}{l}a+b=3 \\ b+a^2-2 b^2=1\end{array}\right.\)
\[\begin{aligned}& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}b=3-a \\a^2-11 a+16=0\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\frac{11-\sqrt{57}}{2}>0 \\b=\frac{\sqrt{57}-5}{2}>0\end{array}\right.\end{aligned}\]
(chú ý rằng với \(a=\dfrac{11+\sqrt{57}}{2}\) thì \(b=3-a=3-\dfrac{11+\sqrt{57}}{2}=\dfrac{-5-\sqrt{57}}{2}<0:\) loại).
Suy ra: \(\left\{\begin{array}{l}\sqrt{5 x+y}=\frac{11-\sqrt{57}}{2} \\ \sqrt{2 x+y}=\dfrac{41-5 \sqrt{57}}{2}\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 x+y=\dfrac{89-11 \sqrt{57}}{2} \\ 2 x+y=\dfrac{41-5 \sqrt{57}}{2}\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=8-\sqrt{57} \\ y=\dfrac{9-\sqrt{57}}{2}\end{array}\right.\) (thoả mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
\[(x ; y)=\left(8-\sqrt{57} ; \frac{9-\sqrt{57}}{2}\right)\]
Bây giờ ta xét dạng hệ phương trình không chứa căn
Thí dụ 3. Giải hệ phương trình:
\[\left\{\begin{array}{l}x^3+y^3=91 \\4 x^2+3 y^2=16 x+9 y\end{array}\right.\]
Lời giải. Nhân hai vế của phương trình (2) với -3 rồi cộng vế theo vế với phương trình (1) ta có:
\[\begin{aligned}& x^3+y^3-12 x^2-9 y^2=91-48 x-27 y \\& \Leftrightarrow(x-4)^3=(3-y)^3 \Leftrightarrow x=7-y\end{aligned}\]
Như vậy ta có: \(\left\{\begin{array}{l}x^3+y^3=91 \\ 4 x^2+3 y^2=16 x+9 y\end{array}\right.\)
\[\begin{aligned}& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}x^3+y^3=91 \\x=7-y\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{r}y^2-7 y+12=0 \\x=7-y\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=4, x=3 \\y=3, x=4\end{array}\right.\end{aligned}\]
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[\left\{\begin{array}{l}x=3 \\y=4\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=4 \\y=3\end{array}\right.\right.\]
Nhận xét. Khó có thể dùng phép thế hoặc đặt ẩn phụ để giải hệ phương trình trên nhưng ta thấy trong hệ phương trình trên các biến \(x, y\) trong từng phương trình đứng độc lập và bậc của \(x, y\) đều có bậc 3, từ đó ta nghĩ đến việc kết hợp hai phương trình để được phương trình dạng
\[(x+a)^3=(b-y)^3 .\]
Nhân phương trình (2) với \(m\) rồi cộng vế theo vế với (1) ta có:
\[\begin{array}{r}x^3+y^3-91+m\left(4 x^2+3 y^2-16 x-9 y\right)=0 \\\Leftrightarrow x^3+4 m x^2-16 m x+y^3+3 m y^2-9 m y-91=0(3)\end{array}\]
\[\begin{aligned}(x+a)^3=(b-y)^3 & \Leftrightarrow x^3+3 a x^2+3 a^2 x+y^3 \\& -3 b y^2+3 b^2 y+a^3-b^3=0\end{aligned}\]
Đồng nhất các hệ số của phương trình (3) và (4) ta có: \(\left\{\begin{array}{l}a^3-b^3=-91 \\ 3 a=4 m,-3 b=3 m \\ 3 a^2=-16 m, 3 b^2=-9 m\end{array}\right.\)
Giải hệ (I) ta được: \(a=-4, b=3, m=-3\).
Từ quá trình phân tích và tìm các hệ số \(a, b, c\) như trên ta có lời giải như đã trình bày.
Để có một cách nhìn rộng hơn về phương pháp hệ số bất định ta xét tiếp bài toán sau:
Thí dụ 4.(Đề thi VMO năm 2010). Giải hệ phuơng trình:
\[\left\{\begin{array}{l}x^4-y^4=240 \\x^3-2 y^3=3\left(x^2-4 y^2\right)-4(x-8 y)\end{array}\right.\]
Phân tich. Tương tự như bài trên ta có ý tướng kết hợp hai phương trình trên thành phương trình dạng \((x+a)^4=(y+b)^4\).
Nhân phương trình (2) với \(c\) rồi cộng theo vế với phương trình (1) ta có:
\[\begin{aligned}& x^4-y^4-240+c\left[x^3-2 y^3-3\left(x^2-4 y^2\right)\right. \\& +4(x-8 y)]=0 \\& \Leftrightarrow x^4+c x^3-3 c x^2+4 x c=y^4+2 c y^3-12 c y^2 \\& +32 c y+240\end{aligned}\]
Mặt khác: \((x+a)^4=(y+b)^4\)
\[\begin{array}{r}\Leftrightarrow x^4+4 x^3 a+6 x^2 a^2+4 x a^3+a^4=y^4+4 y^3 b \\+6 y^2 b^2+4 y b^3+b^4\end{array}\]
Đồng nhất theo vế hai phương trình (3) và (4) ta
có: \(\left\{\begin{array}{l}b^4-a^4=240 \\ 4 a=c, 2 a^2=-c, a^3=c \\ c=2 b,-2 c=b^2, 8 c=b^3\end{array}\right.\).
Suy ra: \(c=-8, a=-2, b=-4\).
Lời giải. Nhân hai vế của phương trình (2) với -8 rồi cộng theo vế với (1) ta có:
\[(x-2)^4=(y-4)^4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=y-2 \\x=6-y\end{array}\right.\]
Với \(x=y-2\) thay vào (1) ta có:
\[8 y^3-24 y^2+32 y+224=0\]
\[\begin{aligned}& \Leftrightarrow(y+2)\left(8 y^2-40 y+112\right)=0 \\& \Leftrightarrow y=-2 \Rightarrow x=-4 .\end{aligned}\]
Với \(x=6-y\) thay vào (1) ta có:
\[\begin{aligned}& y^3-9 y^2+36 y-44=0 \\\Leftrightarrow & (y-2)\left(y^2-7 y+22\right)=0 \\\Leftrightarrow & y=2 \Rightarrow x=4 .\end{aligned}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm:
\[\left\{\begin{array}{l}x=-4 \\y=-2\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=4 \\y=2\end{array}\right.\right.\]
Bây giờ ta xét hệ phương trình chứa hạng tử có dạng \(x^m y^n\) đều có thể giải bằng phương pháp trên không
Thí dụ 5. Giải hệ phuơng trinh:
\[\left\{\begin{array}{l}x^2+2 x y+2 y^2+3 x=0 \\x y+y^2+3 y+1=0\end{array}\right.\]
Phân tích. Cả hai phương trình đều có bậc hai và phương trình (2) xuất hiện hạng tử chứa \(x y\), nên sử dụng cách làm như thí dụ trên sẽ gặp khó khăn. Một cách giải thường dùng với loại này là đưa về dạng phương trình bậc hai của \((a x+b y)\).
Nhân phương trình (1) với \(m\), phương trình (2) với \(n\) rồi cộng theo vế hai phương trình ta có:
\[\begin{aligned}& m\left(x^2+2 x y+2 y^2+3 x\right)+n\left(x y+y^2+3 y+1\right)=0 \\& \Leftrightarrow m x^2+(2 m+n) x y+(2 m+n) y^2 \\& +3(m x+n y)+n=0 .\end{aligned}\]
Ta tìm các hệ số \(m, n, k\) sao cho
\[\Leftrightarrow m x^2+(2 m+n) x y+(2 m+n) y^2=k(m x+n y)^2\]
Đồng nhất hệ số hai vế của phương trình (3) ta có:
\[\left\{\begin{array} { l } { m = k m ^ { 2 } } \\{ 2 m + n = k n ^ { 2 } } \\{ 2 m + n = 2 k m n }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}n=2 m \\k m=1 . \\k n=2\end{array}\right.\right.\]
Đến đây ta có thể chọn \(m=1 \Rightarrow n=2\).
Hệ phương trình được giải như sau
Lời giải. Ta có:
\[\begin{aligned}& \left\{\begin{array}{c}x^2+2 x y+2 y^2+3 x=0 \\x y+y^2+3 y+1=0\end{array}\right. \\\Leftrightarrow & \left\{\begin{array}{c}x^2+2 x y+2 y^2+3 x=0 \\2 x y+2 y^2+6 y+2=0\end{array}\right.\end{aligned}\]
Cộng theo vế của hai phương trình trên ta có:
\[\begin{aligned}& x^2+4 x y+4 y^2+3 x+6 y+2=0 \\\Leftrightarrow & (x+2 y)^2+3(x+2 y)+2=0 \\\Leftrightarrow & {\left[\begin{array} { l } { x + 2 y = - 1 } \\{ x + 2 y = - 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-2 y-1 \\x=-2 y-2\end{array}\right.\right.}\end{aligned}\]
Với \(x=-2 y-1\) ta có hệ: \(\left\{\begin{array}{l}x=-2 y-1 \\ x y+y^2+3 y+1=0\end{array}\right.\)
\[\begin{aligned}& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-2 y-1 \\y^2-2 y-1=0\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=1+\sqrt{2}, x=-3-2 \sqrt{2} \\y=1-\sqrt{2}, x=-3+2 \sqrt{2}\end{array}\right.\end{aligned}\]
Với \(x=-2 y-2\), ta có hệ: \(\left\{\begin{array}{l}x=-2 y-2 \\ x y+y^2+3 y+1=0\end{array}\right.\)
\[\begin{aligned}& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-2 y-2 \\y^2-y-1=0\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, x=-3-\sqrt{5} \\y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}, x=-3+\sqrt{5}\end{array}\right.\end{aligned}\]
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm \((x ; y)\)
là: \((-3-2 \sqrt{2} ; 1+\sqrt{2}),(-3+2 \sqrt{2} ; 1-\sqrt{2})\),
\[\left(-3+\sqrt{5} ; \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right),\left(-3-\sqrt{5} ; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\]
Thí dụ 6. Giải hệ phuơng trình:
\[\left\{\begin{array}{l}x^4-4 x^2+y^2-6 y+9=0 \\x^2 y+x^2+2 y-22=0\end{array}\right.\]
Phân tích. Do bậc của \(x\) là bậc 4 để làm bài toán đơn giản hơn và thuận tiện cho quá trình tìm các hệ ta đặt \(x^2=t(t \geq 0)\), hệ phương trình (I) trở thành:
\[\left\{\begin{array}{c}t^2-4 t+y^2-6 y+9=0 \\t y+t+2 y-22=0\end{array}\right.\]
Đến đây ta thấy hệ phương trình này tương tự như thí dụ 5.
Bằng cách làm tương tự như trên ta có cách giải vắn tắt như sau:
Lời giải. Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}t^2-4 t+y^2-6 y+9=0 \\ t y+t+2 y-22=0\end{array}\right.\)
\[\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}t^2-4 t+y^2-6 y+9=0 \\2 t y+2 t+4 y-44=0\end{array}\right.\]
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:
\[\begin{gathered}t^2+2 t y+y^2-2(t+y)-35=0 \\\Leftrightarrow(t+y)^2-2(t+y)-35=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t+y=-5 \\t+y=7\end{array} .\right.\end{gathered}\]
Kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) ta có nghiệm của hệ (II) là:
\[\left\{\begin{array}{l}t=4 \\y=3\end{array} ;\left\{\begin{array}{l}t=2 \\y=5\end{array}\right.\right.\]
Suy ra nghiệm \((x ; y)\) của hệ phương trình trên là:
\[(2 ; 3),(-2 ; 3),(-\sqrt{2} ; 5),(\sqrt{2} ; 5)\]
Để kêt thúc bài viết, mời bạn đọc luyện tập thêm một số bài tập tương tự.
BÀI TẬP TƯONG TỰ
Giải các hệ phương trình sau
1. \(\left\{\begin{array}{l}x^2+2 x y+2 y^2+3 x=0 \\ x y+y^2+3 y+1=0\end{array}\right.\)
2. \(\left\{\begin{array}{c}2 x^2+4 x y+2 y^2+3 x+3 y-2=0 \\ x^2+y^2+4 x y+2 y=0\end{array}\right.\)
3. \(\left\{\begin{array}{l}y^2=(4 x+4)(4-x) \\ y^2-5 x^2-4 x y+16 x-8 y+16=0\end{array}\right.\)
4. \(\left\{\begin{array}{l}x^4-y^4=1215 \\ 2 x^3-4 y^3=9\left(x^2-4 y^2\right)-18(x-8 y)\end{array}\right.\)
5. \(\left\{\begin{array}{l}\sqrt{4 x+y}+\sqrt{2 x+y}=2 \\ \sqrt{2 x+y}+x+y=1\end{array}\right.\)
(Đề thi học sinh giỏi tỉh Nam Định năm 2012).
