| 3 Comments | Hoàng Lê Việt Tùng
Số học là một phân môn hay và khó trong Toán học. Trong các đề thi học sinh giỏi hay thi vào lớp 10 chuyên Toán, các bài toán số học thường gây khó khăn cho các thí sinh trong quá trình suy nghĩ, phân tich vấn đề. Trong các hướng phân tích thì việc sử dụng đồng dư thức là phương pháp rất quan trọng. Trong bài viết này, tác giả sẽ đưa ra một số tính chất cơ bản về đồng dư thức và các bài toán áp dụng giúp bạn đọc có cái nhin khách quan hơn vể phương pháp này.
Một số tính chất cơ bản
Với a là số nguyên, ta có:
\[\begin{aligned}& a^2 \equiv 0 ; 1(\bmod 3) ; a^2 \equiv 0 ; 1(\bmod 4) ; \\& a^2 \equiv 0 ; 1 ; 4(\bmod 5) ; a^2=0 ; 1 ; 4(\bmod 8) ; \\& a^2 \equiv 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9(\bmod 11) ; \\& a^2 \equiv 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9 ; 10 ; 12(\bmod 13) ; \\& a^3 \equiv 0 ; 1 ; 6(\bmod 7) ; a^3 \equiv 0 ; 1 ; 8(\bmod 9) ; \\& a^4 \equiv 0 ; 1(\bmod 8) .\end{aligned}\]
Việc chứng minh các tính chất trên xin dành cho bạn đọc.
Dưới đây là một số bài toán áp dụng các tính chất trên.
Bài toán 1. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên \(x\), \(y\) thỏa mãn \(x^2+9 y^2-12 x y+7=18(x-3 y-1)\).
Lời giải. Từ phương trình đã cho ta có \(x^2+7 \equiv 0(\bmod 3)\), suy ra \(x^2 \equiv 2(\bmod 3)\),
điều này mâu thuẫn với \(x^2 \equiv 0 ; 1(\bmod 3)\). Vậy không tồn tại các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn \(x^2+9 y^2-12 x y+7=18(x-3 y-1)\).
Bài toán 2 (Trích đề thi vào lớp 10, THPT chuyên KHTN năm 2011). Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^4+y^4=7 z^4+5\).
Lời giải. Sử dụng tính chất trên ta có \(x^4 \equiv 0 ; 1(\bmod 8) ; y^4 \equiv 0 ; 1(\bmod 8)\), suy ra \(x^4+y^4 \equiv 0 ; 1 ; 2(\bmod 8)\). (1)
Cũng từ \(z^4 \equiv 0 ; 1(\bmod 8)\), suy ra
\[7 z^4+5 \equiv 4 ; 5(\bmod 8) .(2)\]
Từ (1) và (2) suy ra không tồn tại các số nguyên \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^4+y^4=7 z^4+5\).
Bài toán 3. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên \(x\), \(y\) thỏa mãn
\[x^4+4 x^3-2 x^2+4 x=3 y^2+4 y+2\]
Lời giải. Viết phương trình đã cho dưới dạng
\[\begin{aligned}& \left(x^4+4 x^3+6 x^2+4 x+1\right)+\left(4 y^2-4 y+1\right) \\& =8 x^2+7 y^2+4 \\& \text { hay }(x+1)^4+(2 y-1)^2=8 x^2+7 y^2+4\end{aligned}\]
Ta có \((x+1)^4 \equiv 0 ; 1(\bmod 4)\),
\[(2 y-1)^2 \equiv 1(\bmod 4)(\text { do } 2 y-1 \text { là số lẻ). }\]
Suy ra \((x+1)^4+(2 y-1)^2 \equiv 1 ; 2(\bmod 4)\). (1)
Mặt khác, ta có \(y^2 \equiv 0 ; 1(\bmod 4)\) nên
\[8 x^2+7 y^2+4 \equiv 0 ; 3(\bmod 4) .(2)\]
Từ (1) và (2) suy ra không tồn tại các số nguyên \(x\), \(y\) thỏa mãn
\[x^4+4 x^3-2 x^2+4 x=3 y^2+4 y+2\]
Bài toán 4 (Trích đề thi vào lớp 10, THPT chuyên KHTN năm 2013). Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn \(5 x^2+8 y^2=20412\).
Lời giải. Do \(20412 \equiv 0(\bmod 3)\) nên
\(5 x^2+8 y^2 \equiv 0(\bmod 3)\) hay \(2\left(x^2+y^2\right)+3\left(x^2+2 y^2\right) \equiv 0(\bmod 3)\), suy ra \(x^2+y^2 \equiv 0(\bmod 3)\), dẫn đến \(x \equiv 0(\bmod 3), y \equiv 0(\bmod 3)\).
Đặt \(x=3 x_1, y=3 y_1\) với \(x_1, y_1 \in \mathbb{Z}\). Khi đó ta có \(5 \cdot\left(3 x_1\right)^2+8 \cdot\left(3 y_1\right)^2=20412\) hay \(5 x_1^2+8 y_1^2=2268\)
Do \(2268 \equiv 0(\bmod 3)\) nên \(5 x_1^2+8 y_1^2 \equiv 0(\bmod 3)\). Lập luận tương tự như trên, suy ra \(x_1 \equiv 0(\bmod 3), y_1 \equiv 0(\bmod 3)\)
Đặt \(x_1=3 x_2, y_1=3 y_2\) với \(x_2, y_2 \in \mathbb{Z}\). Khi đó
ta có \(5 \cdot\left(3 x_2\right)^2+8 \cdot\left(3 y_2\right)^2=2268\) hay \(5 x_2^2+8 y_2^2=252\). Do \(252 \equiv 0(\bmod 3)\) nên \(5 x_2^2+8 y_2^2 \equiv 0(\bmod 3)\). Lập luận tương tụ như trên, suy ra
\(x_2 \equiv 0(\bmod 3), y_2 \equiv 0(\bmod 3)\).
Đặt \(x_2=3 x_3, y_2=3 y_3\) với \(x_3, y_3 \in \mathbb{Z}\). Khi đó ta có \(5 \cdot\left(3 x_3\right)^2+8 \cdot\left(3 y_3\right)^2=252\) hay \(5 x_3^2+8 y_3^2=28\). Từ đây ta có \(y_3^2 \leq 3\) dẫn đến \(y_3 \in\{-1 ; 0 ; 1\}\).
- Với \(y_3=-1\) ta được \(x_3=-2\) hoặc \(x_3=2\) Ta tìm được \(y=-27\) và \(x=-54\) hoặc \(\mathrm{x}=54\).
- Với \(y_3=0\) thì \(x_3\) không là số nguyên.
- Với \(y_3=1\) ta được \(x_3=-2\) hoặc \(x_3=2\). Ta tìm được \(y=27\) và \(x=-54\) hoặc \(x=54\)
Vậy các cặp số nguyên ( \(x, y\) ) thỏa mãn là \((-54,-27) ;(54,-27) ;(-54,27)\); \((54,27)\).
Bài toán 5. Chứng minh rằng không tồn tại
các số nguyên \(x\), \(y\) thỏa mãn \(48 x^2+40 x y+12 y^2=2593\).
Lời giải. Viết phương trình đã cho dưới dạng \(11(2 x+y)^2+(2 x-y)^2=2593\)
Do \(2593 \equiv 8(\bmod 11)\) nên từ phương trên, suy ra \((2 x-y)^2 \equiv 8(\bmod 11)\), điều này mâu thuẫn do \((2 x-y)^2 \equiv 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9(\bmod 11)\). Vậy không tồn tại các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn \(48 x^2+40 x y+12 y^2=2593\).
Bài toán 6. Tim tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn
\[x^6+y^3-4 y^2+17 y-10=0\]
Lời giải. Viết phương trình đã cho dưới dạng \(x^6+\left(y^3+3 y^2+3 y+1\right)=\left(7 y^2-14 y+7\right)+4\) hay \(x^6+(y+1)^3=7(y-1)^2+4\).
Ta có \(x^3 \equiv 0 ; 1 ; 6(\bmod 7), x^6 \equiv 0 ; 1(\bmod 7)\), \((y+1)^3 \equiv 0 ; 1 ; 6(\bmod 7)\), suy ra \(x^6+(y+1)^3 \equiv 0 ; 1 ; 2 ; 6(\bmod 7)\).
Mà \(7(y-1)^2+4 \equiv 4(\bmod 7)\) nên không tồn tại các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn \(x^6+y^3-4 y^2+17 y-10=0\)
Bài toán 7. Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho \(x^3+5 y^2-4 x^2-4 y-2\) và \(2 x^3+x^2+y^2+10 y+10\) đều là lập phương của các số nguyên.
Lời giải. Giả sử tồn tại các số nguyên \(m\), \(n\) thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{l}x^3+5 y^2-4 x^2-4 y-2=m^3 \\ 2 x^3+x^2+y^2+10 y+10=n^3\end{array}\right.\)
Khi đó ta có \(x^3+5 y^2-4 x^2-4 y-2\) \(+4\left(2 x^3+x^2+y^2+10 y+10\right)=m^3+4 n^3\) hay \(9\left(x^3+y^2+4 y+4\right)+2=m^3+4 n^3\). Suy \(r a \quad m^3+4 n^3 \equiv 2(\bmod 9)\). (1) Mặt khác, ta có \(\mathrm{m}^3 \equiv 0 ; 1 ; 8(\bmod 9)\), \(4 \mathrm{n}^3 \equiv 0 ; 4 ; 5(\bmod 9)\), suy ra \(m^3+4 n^3 \equiv 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8(\bmod 9) .(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra không tồn tại các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn bài toán.
Bài toán 8. Tồn tại hay không các số nguyên dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^4+4 y^4+3=3^z ?\)
Lời giải. Do \(x, y, z\) là các số nguyên dương nên \(3^z=x^4+4 y^4+3>3\), suy ra \(z \geq 2\).
Ta có \(x^4+y^4+3\left(y^4+1\right)=3^z \equiv 0(\bmod 3)\), suy ra \(x^4+y^4 \equiv 0(\bmod 3)\).
Do \(x^4, y^4 \equiv 0 ; 1(\bmod 3)\) nên
\(x^4+y^4 \equiv 0(\bmod 3)\) chi khi
\(x \equiv 0(\bmod 3), y \equiv 0(\bmod 3)\).
Do đó \(x^4+4 y^4+3 \equiv 3(\bmod 9)\).
Mặt khác, với \(z \geq 2\) thì \(3^z \equiv 0(\bmod 9)\). Từ đó suy ra không tồn tại các số nguyên dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^4+4 y^4+3=3^z\).
Bài toán 9. Tìm tất cả các số nguyên tố \(x, y\) và số nguyên dương \(z\) thỏa mãn \(17 x^2+4 x y+5 y^2=7^z\)
Lời giải. Ta có Bổ đề sau: Với a, b là các số nguyên và \(p\) là số nguyên tố có dạng \(4 \mathrm{k}+3\) với \(k \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(a^2+b^2 \equiv 0(\bmod p)\) thì \(a \equiv 0(\bmod p)\) và \(b \equiv 0(\bmod p)\).
Việc chứng minh bổ đề xin dành cho bạn đọc.
Ta có \(17 x^2+4 x y+5 y^2=7^z\)
\(\Leftrightarrow\left(16 x^2+8 x y+y^2\right)+\left(x^2-4 x y+4 y^2\right)=7^z\)
\(\Leftrightarrow(4 x+y)^2+(x-2 y)^2=7^z\).
Suy ra \((4 x+y)^2+(x-2 y)^2 \equiv 0(\bmod 7)\)
Do 7 là số nguyên tố có dạng \(4 k+3\) nên theo bổ đề trên thì \(4 x+y \equiv 0(\bmod 7)\) và \(x-2 y \equiv 0(\bmod 7)\), suy ra
\(8 x+2 y+x-2 y \equiv 0(\bmod 7)\) hay
\(9 x \equiv 0(\bmod 7)\), suy ra \(x \equiv 0(\bmod 7)\). (1)
Kết hợp với \(4 x+y \equiv 0(\bmod 7)\), suy ra \(y \equiv 0(\bmod 7) .(2)\)
Tứ (1), (2) và \(x, y\) là các số nguyên tố, suy ra \(x=y=7\).
Khi đó \(7^z=17 \cdot 7^2+4 \cdot 7 \cdot 7+5 \cdot 7^2=7^2 \cdot 26\), không tồn tại số nguyên dương \(z\) thỏa mãn do 26 không biểu diễn được dưới dạng lũy thừa của 7.
Vây không tồn tại các số nguyên tố \(x, y\) và số nguyên dương \(z\) thỏa mãn
\(17 x^2+4 x y+5 y^2=7^z\).
Trên đây là một số bài toán sử dụng đồng dư thức, đó là một phương pháp rất hay và hữu hiệu trong việc xử lí các bài toán số học. Để kết thúc bài viết, tác giả xin đưa ra một số bài tập áp dụng để bạn đọc tham khảo.
Bài 1 (Trích đề thi vào lớp 10, THPT chuyên KHTN năm 2017). Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn
\(12 x^2+26 x y+15 y^2=4617\).
Bài 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn
\[x^3+2 y^3+12 x+6 y=3 x^2+6 y^2+17\]
Bài 3 (Toán Tuổi tho 2, số 250). Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn \(x^3-3 x-43=3^y\).
Bài 4 (Toán Tuổi thơ 2, số 256). Cho số nguyên \(k\) và xét dãy số \(\left(a_n\right)\) có \(a_1=k^8-k^4+1, a_{n+1}=2 a_n^2+5 a_n^4-7 a_n^6+11\), \(\forall n \in \mathbb{N}^*\). Với giá trị nào của \(k\) thì tôn tại \(\mathrm{m} \in \mathbb{N}^*\) để \(\mathrm{a}_{\mathrm{m}}\) là số chính phương.
Bài 5 (Trích đề thi vào lớp 10, THPT chuyên KHTN năm 2015). Cho \(x, y\) là các số nguyên thỏa mãn \(x^2-2 x y-y^2\) và \(x y-2 y^2-x\) đều chia hết cho 5 . Chứng minh rằng \(2 x^2+y^2+2 x+y\) chia hết cho 5.
Bài 6 (Trích đề thi vào lớp 10, THPT chuyên ĐH SPHN năm 2016). Tìm các số nguyên dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \(x^3-y^3=95\left(x^2+y^2\right)\).
Bài 7. Tìm các số nguyên \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^4+3 y^4=25 z^2+10 z+2\)
Bài 8. Tìm các số nguyên \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^6+2 x^3-2=7\left(y^2+z^2\right)\)
