Bài 1
(4 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
\[
A=\frac{x^4-(x-1)^2}{\left(x^2+1\right)^2-x^2}+\frac{x^2-\left(x^2-1\right)^2}{x^2(x+1)^2-1}+\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2}
\]
2) Cho
\[
f(x)=\frac{2 \cdot 1+1}{\left(1^2+1\right)^2}+\frac{2 \cdot 2+1}{\left(2^2+2\right)^2}+\ldots+\frac{2 x+1}{\left(x^2+x\right)^2}
\]
với \(x \in \mathbb{N}^*\). Tìm \(x\) để
\[
f(x)=\frac{2024}{2025}
\]
Bài 2
(4 điểm)
1) Cho \(a, b, c\) là các số nguyên khác 0 thỏa mãn
\[
\frac{1}{a}-\frac{1}{2 b}=\frac{1}{3 c}
\]
Chứng minh \(a^2+4 b^2+9 c^2\) là số chính phương.
2) Cho ba số không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=2\). Chứng minh \(a+b \geq 4 a b c\).
Bài 3
(4 điểm)
1) Trong một hộp kín có 6 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu xanh, 8 viên bi màu vàng (có kích thước và hình dạng như nhau). Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp.
a) Tính xác suất của biến cố \(H\) : "Lấy được viên bi màu xanh hoặc màu vàng".
b) Thêm vào hộp một số viên bi màu đỏ, màu xanh và màu vàng sao cho xác suẩt lấy được một viên bi mỗi màu không đổi so với ban đầu. Cần thêm it nhất bao nhiêu viên bi mỗi màu?
2) Giải hệ phương trình
\[
\left\{\begin{array}{l}5 x^2+12 y^2=76+2 x y \\ (x+y)\left(6 x^2+13 y^2-76\right)=0\end{array}\right.
\]
Bài 4
(6 điểm)
1) Cho tam giác \(A B C\) nhọn có các đường cao \(A D ; B E\) và \(C F\) cắt nhau tại \(H\) ( \(D \in B C ; E \in A C ; F \in A B\) ). Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(C F\) cắt tia \(A D\) tại \(K\).
a) Chứng minh \(\triangle A E F \backsim \triangle A B C\).
b ) Gọi \(I\) là trung điểm \(B C\), tia \(H I\) cắt \(B K\) tại \(N\). Chứng minh \(A N\) vuông góc \(E F\).
2) Cho góc nhọn \(\alpha\) biết \(\tan \alpha=2\). Tính giá trị biểu thức
\[
M=\frac{\sin ^3 \alpha+\cos ^3 \alpha-\sin \alpha \cdot \cos ^2 \alpha}{4 \cdot \cos ^3 \alpha-3 \cdot \sin ^3 \alpha+8 \cdot \sin ^2 \alpha \cdot \cos \alpha}
\]
Bài 5
(2 điểm)
Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng có thể cất tấm bìa thảnh sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phẩn là số nguyên.