Bài 1
(1.5 điểm)
Cho biểu thức
\[ P=\frac{2 x+3}{\sqrt{x}}+\frac{x \sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x^2+\sqrt{x}}{x \sqrt{x}+x}\]
với \(x>0, x \neq 1\).
a) Rút gọn biểu thức \(P\).
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\).
Bài 2
(1.5 điểm)
Giải các phương trình sau
a) \(\sqrt{x+1}=2 x-1\)
b) \(\sqrt{2 x^2+8 x+6}+\sqrt{x^2-1}=2(x+1)\)
c) \(x^2+5 x-14=2(x+2) \sqrt{x-2}\)
Bài 3
(2 điểm)
Giải các hệ phương trình sau
а) \[ \left\{\begin{array}{l}\sqrt{x+y-3}=\sqrt{2 x-1} \\ x^2+y^2-x y=7\end{array}\right. \]
b) \[ \left\{\begin{array}{l}\left(x^2+x y\right)(y+1)=4 \\ x^2+3 x y+y^2+x=-3\end{array}\right. \]
Bài 4
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) nội tiếp đường tròn \((O, R)\) có các đường cao \(A D, B E, C F\) dồng quy tại trực tâm \(H\). Vẽ đường kính \(A L\). Cho biết \(\widehat{B A C}=60^{\circ}, \widehat{A C B}=45^{\circ}\).
a) Chứng minh tứ giác \(B H C L\) là hình bình hành và tính \(A H\) theo \(R\).
b) Gọi \(N\) là giao điểm của \(B E\) và \(O A\). Chứng minh rằng tứ giác \(B H O C\) nội tiếp và \(H\) là trung điểm của \(B N\).
c) Chứng minh rằng các đường thẳng \(C F, B O, D E\) đồng quy.
d) Gọi \(T\) là giao điểm của \(D E\) và \(O H\). Chứng minh rằng \(T F=T D\).
Bài 5
(1.5 điểm)
Cho \(a, b, c\) là các số không âm thỏa mān: \(a^2+b^2+c^2=3\). Chứng minh
a) \(a+b+c \leq 3 \leq a^3+b^3+c^3\)
b) \(\sqrt{2 a^4+6 b^2+6 c^2-13}+\sqrt{2 b^4+6 c^2+6 a^2-13}+\sqrt{2 c^4+6 a^2+6 b^2-13} \geq 3\)
Bài 6
(0.5 điểm)
Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông biết tam giác có diện tích bằng 6 và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác bằng 1.