Bài 1
(3.5 điểm)
1) Giải phương trình
\[ \sqrt{2 x+1}+\sqrt{x}=\sqrt[3]{3 x+1} \]
2) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{x}(2 y+1)+\dfrac{1}{y}(3 x+1)=7 \\ x+y=2 x y . \end{array}\right. \]
Bài 2
(2.5 điểm)
1) Một đơn vị bộ đội được xếp thành các hàng ngang. Nếu xếp mỗi hàng 3 người thì thừa 2 người, nếu xếp mỗi hàng 7 người thì thừa 4 người, còn nếu xếp mỗi hàng 5 người thì vừa đủ. Người chỉ huy không nhớ chính xác số quân của đơn vị, chỉ biết rằng số lượng nằm trong khoảng từ 500 đến 600 người. Hãy giúp người chỉ huy xác định chính xác số bộ đội của đơn vị.
2) Cho \(x, y\) là các số thực dương thỏa mān \(x>y>1\) và
\[ (x y+1)^2+(x+y)^2 \leq 2(x+y)\left(x^2-x y+y^2+1\right) . \]
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ P=\dfrac{\sqrt{x-y}}{y-1} \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho hình bình hành \(A B C D\). Giả sử tồn tại hai điểm \(P\) và \(Q\) nằm trong hình bình hành \(A B C D\) sao cho hai tam giác \(A B P\) và \(B C Q\) đều là các tam giác đều.
1) Chứng minh rằng tam giác \(D P Q\) dều.
2) Gọi \(A Q\) cắt \(C P\) tại \(L\). Chứng minh rằng: \(L B=L Q+L C\).
3) Chứng minh rằng đường thẳng qua \(P\) vuông góc \(P D\) cắt đường thẳng qua \(Q\) vuông góc \(Q D\) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường cao hạ từ \(B\) của tam giác \(A B C\).
Bài 4
(1 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương \(n>1\) sao cho có thể chia một hình vuông lớn thành đúng \(n\) hình vuông nhỏ hơn.