Bài 1
(3.5 điểm)
1) Giải phương trình
\[ \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{4}{x-4}=2 x^2-5 x-4 \]
2) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
\[ P=\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{b-c}{b+c}+\dfrac{c-a}{c+a}+\dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \]
không phụ thuộc vào các số thực dương \(a, b, c\).
Bài 2
(2.5 điểm)
1) Tim tất cả các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn đẳng thức
\[ x^4-x^3+y^4-y^3=x y(2 x y-x-y+3) \]
2) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương không vượt quá 1. Chứng minh rằng
\[ \dfrac{x y+1}{x+y}+\dfrac{y z+1}{y+z}+\dfrac{z x+1}{z+x} \geq \dfrac{x y+y z+z x+3}{x+y+z}+1 \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) nhọn ( \(A B \lt A C\) ) nội tiếp đường tròn \((O)\). Giả sử \(S\) là một diểm nằm trong tam giác \(A B C\) sao cho: \(\triangle S B A \backsim \triangle S A C\). Hình chiếu của \(A\) lên \(B C\) là \(D\).
1) Chứng minh rằng: \(B, S, O, C\) cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi \(M\) là trung diểm \(B C\). Chứng minh rằng: \(\angle S A B=\angle M A C\).
3) Gọi trung điểm \(C A, A B\) lần lượt là \(P, Q\). Chứng minh rằng: \(D S\) đi qua trung điểm \(P Q\).
Bài 4
(1 điểm)
Một tầm kính hình vuông có kích thước \(1 \mathrm{~m} \times 1 \mathrm{~m}\) được trang trí bằng nhiều miếng đè̀-can hình tròn, các miếng đề-can này có thể chồng lên nhau nhưng không nhất thiết phải phủ kín toàn bộ bề mặt. Tổng chu vi của tất cả các miếng đề-can này là 10 m. Một người thợ muốn cắt một đường thẳng trên tấm kính. Tồn tại hay không một đường cắt đi qua ít nhất 4 miếng đề-can?