Bài 1
(2 điểm)
a) Cho \(E\) là tập các số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau đượ lập tự tập \(X=\{0,1,2,3,4,5,6\}\). Chọn ngấu nhiên một sồ từ tập \(E\). Tính xác suât đế số được chọn có dạng \(x=\overline{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6}\), trong đó:
\[ a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6 \]
b) Hệ thống giáo dục CHUYENTOAN.COM GROUP đã thiết kế một khuôn viên vui chơi trên mảnh đất của trung tâm như hình vẽ sau.
Cho \(\mathrm{AB}=50 \mathrm{~m}\) cố định, \(\mathrm{EF}=25 \mathrm{~m}\) và EF di chuyển trên nửa đường tròn đường kính \(A B\). Diện tích trồng hoa là phần diện tích chấm, diện tích trồng rau củ là diện tích đất hình tam giác \(C E F\), diện tích khu vui chơi là phần đất có diện tích tứ giác \(A E F B\). Ban quản lý ưu tiên phần đất vui chơi cho học sinh. Hỏi diện tích lớn nhất của phẩn vui chơi đó bằng bao nhiêu mét vuông? (Hãy làm tròn kết quả đến đơn vị.)
Bài 2
(2 điểm)
a) Giải phương trinh:
\[ \left(x^2+3 x+2\right)\left(x^2+9 x+18\right)=168 x^2 \]
b) Giải hệ phương trình:
\[ \left\{\begin{array}{l} x+\dfrac{1}{x^2+1}=y+\dfrac{1}{y^2+1} \\ x^2+2 x \sqrt{y+\dfrac{1}{y}}=8 x-1 \end{array}\right. \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác nhọn \(A B C(A B \lt A C), M\) là trung diếm của cạnh \(\mathrm{BC}, \mathrm{O}\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Các đường cao \(A D, B E, C F\) của tam giác \(A B C\) đồng quy tại \(H\). Các tiếp tuyến với \((O)\) tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(S\). Gọi \(X, Y\) lần Iượt là giao điểm của đường thẳng \(E F\) với các đường thẳng \(\mathrm{BS}, \mathrm{AO}\). Chứng minh rằng:
a) \(M X \perp B F\).
b) Hai tam giác \(S M X\) và \(D H F\) đồng dạng.
c) \(\dfrac{E F}{F Y}=\dfrac{B C}{C D}\)
Bài 4
(1 điểm)
Cho \(x, y, z\) là các số thực không âm thỏa mãn \(x+y+z=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^2+y^2+2 z^2+2 x y z\).
Bài 5
(2 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p, q, r\) sao cho \(p q-6, q r+1, r p+10\) đều là các số chính phương.
b) Cho \(n \geq 3\) điểm trong mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng trong \(n\) điểm này, tồn tại ba điểm sao cho đường tròn ngoại tiếp đi qua ba điểm này chứa tất cả các điểm đã cho.