PHẦN I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời các câu hỏi từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ lựa chọn một phương án duy nhất trong các phương án A, B, C, D được đưa ra.
Bài 1
Cho \(\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\). Tổng \(x+y\) bằng
-1
3
1
0
Bài 2
Một cổng có hình dạng parabol, kích thước như trong hình bên. Biết \(A B=O C=6 \mathrm{~m}\). Phương trình của parabol là
\(y=-\dfrac{2}{3} x^2\)
\(y=-\dfrac{1}{3} x^2\)
\(y=-\dfrac{3}{2} x^2\)
\(y=-\dfrac{3}{4} x^2\)
Bài 3
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt{2 x+9}=\sqrt{4-x}+\sqrt{3 x+1}\) là:
2
3
-2
\(\dfrac{11}{3}\)
Bài 4
Với mỗi số nguyên dương \(k\) đặt \(S_k=(\sqrt{2}+1)^k+(\sqrt{2}-1)^k\). Hệ thức nào dưới đây đúng?
\(S_{3970} \cdot S_{80}=S_{2025}+S_{1945}\)
\(S_{3970}+S_{80}=S_{2025} \cdot S_{1945}\)
\(S_{3970}-S_{80}=S_{2025} \cdot S_{1945}\)
\(S_{3970}+S_{80}=\sqrt{S_{2025} S_{1945}}\)
Bài 5
Biết giá trị \(x_0=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3 \sqrt{2+\sqrt{3}}}\) là nghiệm của phương trình \(x^4+a x^2+b=0\). Khi đó \(a+b\) bằng
16
4
-4
-16
Bài 6
Biết phương trình \(x^2-a x+2 a=0\) ( \(a\) là tham số) có các nghiệm nguyên. Tổng tất cả các giá trị có thể có của \(a\) là:
1
8
12
16
Bài 7
Các số thực \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) thỏa mãn các điều kiện \(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2=3\). Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
\(\left|\dfrac{a_1}{2}+\dfrac{a_2}{3}+\ldots+\dfrac{a_n}{n+1}\right|<\sqrt{2}\)
\(\left|\dfrac{a_1}{2}+\dfrac{a_2}{3}+\ldots+\dfrac{a_n}{n+1}\right| \leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\left|\dfrac{a_1}{2}+\dfrac{a_2}{3}+\ldots+\dfrac{a_n}{n+1}\right| \geq \sqrt{2}\)
\(\left|\dfrac{a_1}{2}+\dfrac{a_2}{3}+\ldots+\dfrac{a_n}{n+1}\right| \geq \sqrt{3}\)
Bài 8
Cho đường tròn \((I ; r)\) cố định. Một tam giác \(A B C\) thay đổi có chu vi bằng 16 cm , luôn ngoại tiếp đường tròn \((I ; r)\). Tiếp tuyến của đường tròn \((I)\) song song với \(B C\) cắt các cạnh \(A B, A C\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Độ dài đoạn thẳng \(B C\) bẳng bao nhiêu đề độ dải đoạn thẳng \(M N\) đạt lớn nhất?
\(2 cm\)
\(4 cm\)
\(4,25 cm\)
\(4,5 cm\)
Bài 9
Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\). Gọi \(R\) và \(r\) lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác \(A B C\). Khi đó diện tích tam giác \(A B C\) tính theo \(R\) và \(r\) là:
\(S=R r+r^2\)
\(S=2 R r-r^2\)
\(S=2 R r+r^2\)
\(S=R r-r^2\)
Bài 10
Hình chữ nhật \(A B C D\) có cạnh \(C D=3, D A=5\). Vẽ đường tròn tâm \(A\) bán kính là 1 , một đường tròn tâm \(B\) bán kính là 2 , một đường tròn tâm \(C\) bán kinh là 3 . Diện tích phần nằm bên trong hình chữ nhật nhưng nằm bên ngoài cả ba đường tròn bằng bao nhiêu? Lấy \(\mathrm{p}=\frac{22}{7}\).
3,5
4,0
4,5
5,0
Bài 11
Cho hình bên. Biết \(A B C D E\) là một ngũ giác đều và \(A G=1\). Tổng \(F G+J H+C D\) bằng bao nhiêu?
\(12-4 \sqrt{5}\)
\(\dfrac{5+2 \sqrt{5}}{3}\)
\(1+\sqrt{5}\)
\(\dfrac{11+11 \sqrt{5}}{10}\)
Bài 12
Một tổ gồm 9 em, trong đó có 3 nữ được chia thành 3 nhóm đều nhau. Tính xác suất để mỗi nhóm có một nữ.
\(\dfrac{3}{56}\)
\(\dfrac{27}{84}\)
\(\dfrac{53}{56}\)
\(\dfrac{19}{28}\)
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời các câu hỏi từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chỉ chọn đúng hoặc sai.
Bài 13
Cho phương trình \(a x^2+b x+c=0\) (1) và \(c x^2+b x+a=0(2)\) (với \(x\) là ẩn, \(a, b, c\) là các số cho trước, \(a>c>0\) ).
a) Đ/S
Phương trình (1) và (2) cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm
b) Đ/S
Nếu phương trình \((2)\) có hai nghiệm cùng âm thì phương trình \((2)\) có hai nghiệm cùng âm
c) Đ/S
Nếu phương trình \((1)\) có nghiệm \(x_1, x_2\); phương trình (2) có nghiệm \(x_1{ }^{\prime}, x_2{ }^{\prime}\) và \(x_1+x_2>x_1{ }^{\prime}+x_2{ }^{\prime}\) thì \(b>0\)
d) Đ/S
Nếu phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm thì \(b>a+c\)
Bài 14
Cho tam giác \(A B C\), đường phân giác \(A D(D \in B C)\). Đặt \(B C=a, A C=b, A B=c\). Khi đó
a) Đ/S
\(\dfrac{B D}{A B}=\dfrac{a}{b+c}\)
b) Đ/S
\(\sin \dfrac{B A C}{2} \geq \dfrac{a}{b+c}\)
c) Đ/S
\(\sin \dfrac{B A C}{2} \cdot \sin \dfrac{A B C}{2} \cdot \sin \dfrac{A C B}{2} \leq \dfrac{1}{8}\)
d) Đ/S
\(A D=\dfrac{2 b c \cdot \cos \dfrac{B A C}{2}}{a}\)
Bài 15
Cho hai đường tròn \(\left(O_1 ; R_1\right)\) và \(\left(O_2 ; R_2\right)\) với \(R_1>R_2\) tiếp xúc trong với nhau tại \(A\). Đường thẳng \(O_1 O_2\) cắt \(\left(O_1 ; R_1\right)\) và \(\left(O_2 ; R_2\right)\) lần lượt tại \(B\) và \(C\) khác \(A\). Đường thẳng đi qua trung điểm \(D\) của \(B C\) và vuông góc với \(B C\) cắt \(\left(O_1 ; R_1\right)\) tại \(P\) và \(Q\).
a) Đ/S
\(C\) là trọng tâm của tam giác \(A P Q\)
b) Đ/S
Gọi \(M\) là giao điểm của \(A P\) và \(\left(O_2\right)\), khi đó \(A D \cdot M Q=A M \cdot D Q+D M \cdot A Q\)
c) Đ/S
\(P D^2=\left(R_1-R_2\right)^2\)
d) Đ/S
Gọi \(D_1, D_2, D_3, D_4\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên các đường thẳng \(B P, P A, A Q, Q B\), khi đó \(D D_1+D D_2+D D_3+D D_4 \leq \frac{1}{4}(B P+P A+A Q+Q B)\)
Bài 16
Một người chợ trò phi tiêu vào một tấm bia hình tròn được chia làm 5 phần bằng nhau, trên các phần điển số điểm tương ưng là \(1 ; 2 ; 3 ; 4\) và 5 . Giả sử kết quả các lần phi tiêu là độc lập và lần nào cũng ném trúng bia.
a) Đ/S
Xác suất người đó ném một lần được 5 điểm là 0,2
b) Đ/S
Người đó phi tiêu 2 lần liên tiếp, xác suất để hai lần có cùng số điểm là 0,04
c) Đ/S
Người đỏ phi tiêu 2 lần liên tiếp, xảc suất để lần thứ hai được điểm cao hơn lần thứ nhất là 0,4
d) Đ/S
Người đó phi tiêu 5 lần liên tiếp, xác suất để có 3 lần được 5 điểm là 0,0512
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời các câu hỏi từ câu 17 đến câu 22.
Bài 17
Biết \(\left(x_0 ; y_0\right)\) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l}x^2(x-3 y)=-16 \\ y^3+16=3 x y^2\end{array}\right.\) Giá trị của biểu thức \(x_0+2 y_0\) bằng bao nhiêu?
Bài 18
Tìm số tự nhiên \(n\) biết \(n\) là số tự nhiên có ba chữ số nhỏ nhất thỏa mãn \(2^{3 n+4}+3^{2 n+1}\) chia hết cho 19
Bài 19
Cho \(x, y, z \geq 0\) và thỏa mãn điều kiện \(x+y+z=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{1+y^2+z^2}+\frac{y}{1+z^2+x^2}+\frac{z}{1+x^2+y^2}\)
Bài 20
Cho tam giác nhọn \(A B C\) hai đường cao \(A D\) và \(B E\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(H D: H A=1: 2\). Tính tích \(\tan B \cdot \tan C\)
Bài 21
Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(C\) có \(A B=12\). Vẽ hai hình vuông \(A B X Y\) và \(A C W Z\) nằm bên ngoài tam giác \(A B C\). Biết rằng các điểm \(X, Y, Z\) và \(W\) cùng nằm trên một đường tròn (hình vê). Tính chu vi tam giác \(A B C\) (làm tròn kết quả đến chũ số thập phân thứ hai)
Bài 22
Cho 8 quả cân có trọng luợng lần lượt là: \(1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8(\mathrm{~kg})\). Chọn ngẫu nhiên 3 quả trong số đó. Xác suất để trọng lượng 3 quả không nhỏ hơn \(10(\mathrm{~kg})\) là bao nhiêu?