Bài 1
(4 điểm)
a) Cho biểu thức
\[ A=\dfrac{\sqrt{x y}-x}{x \sqrt{x}-y \sqrt{x}}+\dfrac{\left(\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)^3+2 x \sqrt{x}+y \sqrt{y}}{3 x^2+3 y \sqrt{x y}}+1975\]
(với \(x>0 ; y>0\) và \(x \neq y\) ). Chứng minh rằng giá trị biểu thức \(A\) không phụ thuộc vào \(x, y\).
b) Biết rằng phương trình \(x^2-a x+b+5=0\) (với \(a, b\) là các số nguyên) có hai nghiệm đều là các số nguyên. Chứng minh rằng \(5 a^2+b^2\) là hợp số.
Bài 2
(4 điểm)
a) Cho các số thực \(x ; y\); \(z\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: \(x+y+z=2 ; x^2+y^2+z^2=2025\) và \(x y z=-1\). Tính giá trị của biểu thức:
\[ P=\dfrac{1}{x y+z-1}+\dfrac{1}{y z+x-1}+\dfrac{1}{z x+y-1} \]
b) Tim các cặp số nguyên dương \((x ; y)\) thỏa mãn: \(3 y^2-3^{x+1}=513\).
Bài 3
(4 điểm)
Cho nừa đường tròn \((O ; R)\) đường kính \(A B\). Một điển \(M\) cố định thuộc đoạn thẳng \(O B\) ( \(M\) khác \(B\) và \(M\) khác \(O\) ). Đường thẳng \(d\) vuông góc \(A B\) tại \(M\) cắt nửa đường tròn đâ cho tại \(N\). Trên cung \(B N\) lấy \(E\) bất kì ( \(E\) khác \(B\) và \(E\) khác \(N\) ). Tia \(B E\) cắt đường thả̉ng \(d\) tại \(C\), đoạn thẳng \(A C\) cắt nưa đường tròn tại \(D\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(A E\) và đường thẳng \(d\).
a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(C H\), chứng minh rằng \(I D\) là tiếp tuyến của đường tròn \((0 ; R)\).
b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A H C\) di động trên một đường thẳng cố định.
Bài 4
(4 điểm)
a) Từ một hộp có 40 thẻ được đánh số từ 1 đến 40 (các số ghi trên mỗi thẻ không trùng nhau), rút ngẫu nhiên hai thẻ (các thẻ có kích thước như nhau). Tính xác suất để lấy được hai thẻ mà tích hai số trên hai thẻ là một số nguyên tố.
b) Có 32 đội bóng tham dự một giải bóng đá giao hữu theo thể thức thi đấu vòng tròn một lượt ( mỗi đội đấu với các đội khác đúng một lần). Chứng minh rằng tại thời điểm bất kỳ nào cùa giải đấu ta luôn tìm được hai đội có cùng số trận đã thi đấu bằng nhau tại thời điểm đó (có thể là 0 trận).
Bài 5
(2 điểm)
Một cốc nước có dạng hình trụ với đường kính đáy bằng 12 cm, chiều cao 16 cm và đang chứa một lượng nước cao 11 cm. Người ta thả từ từ một viên bi có dạng hinh cầu làm bằng thép đặc (không thấm nước) có thể tích là \(\dfrac{500}{3} \pi \mathrm{~cm}^3\) vào cốc nước đã cho.
a) Viên bi có lọt vào miệng cốc hay không? Vì sao?
b) Nếu viên bí có lọt vào miệng cốc thì mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu cm và nước có tràn ra ngoài không?
Bài 6
(2 điểm)
Cho \(a, b>0\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=6\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\dfrac{1}{3 a+6 b+1}+\dfrac{1}{6 a+3 b+1}\).