Bài 1
(4 điểm)
Cho biếu thức
\[ P=\left(\dfrac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2 \sqrt{x}}{3 x+2 \sqrt{x}}-\dfrac{9 x+\sqrt{x}+1}{3 x-\sqrt{x}-2}\right): \dfrac{3 \sqrt{x}+1}{7 x-7 \sqrt{x}},(x>0, x \neq 1)\]
a) Rút gọn biểu thức \(P\).
b) Tìm \(x\) sao cho \(P\) nhận giá trị là một số nguyên.
Bài 2
(4 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\left(x^2+y\right)\left(y^2+x\right)=(x-y)^3\).
b) Giải phương trình \(x^2-x-4=2 \sqrt{x-1}(1-x)\).
Bài 3
(5 điểm)
a) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(x^2-2(m+1) x+m^2+4=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+2(m+1) x_2 \leq 3 m^2+16\).
b) Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l}x^4+2 x^3 y+x^2 y^2=7 x+9 \\ x(y-x+1)=3\end{array}\right.\)
Bài 4
(5 điểm)
Cho đường tròn \((O)\), dây \(C D\) cố đînh. Gọi \(B\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(C D\), kẻ đường kính \(A B\) cắt \(C D\) tại \(I\). Lấy điểm \(H\) bất kỳ trên cung lớn \(C D, H B\) cắt \(C D\) tại \(E\). Đường thẳng \(A H\) cắt đường thẳng \(C D\) tại \(P\).
a) Chứng minh tứ giác PHIB nội tiếp.
b) Chứng minh \(A H \cdot A P=A I \cdot A B\).
c) Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(A E\) và \(B P\). Kẻ \(K M \perp A B\) cắt \(A B\) tại \(M\), cắt đường tròn \((O)\) tại \(N\). Chứng minh \(N, I, H\) thẳng hàng.
Bài 5
(2 điểm)
a) Cho \(x, y, z\) là các số dương thỏa mãn \(x+y+z=2025\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[ A=\dfrac{x}{x+\sqrt{2025 x+y z}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{2025 y+z x}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{2025 z+x y}}\]
b) Trên một măt bàn phẳng có 2025 đồng xu kích thước bằng nhau, mỗi đồng xu có hai mặt một mặt sấp và một mặt ngửa, đồng thời tất cả các đồng xu đều được xếp mặt ngửa. Trong giờ học ngoại khóa thầy giáo cho các em học sinh của trường thực hiện trò chơi "lật đồng xu" như sau: Mỗi lượt chơi phải đổi mặt 10 đồng xu nào đó trên mặt bàn. Hỏi sau 2026 lượt chơi có thể nhận đưọc tất cả 2025 đồng xu trên mặt bàn đều có mặt sấp hay không? Hãy giải thích vì sao?