Bài 1
(2.5 điểm)
a) Năm 2024, số tuổi và năm sinh của thầy giáo A có tỉ số giữa bội chung nhỏ nhất và ước chung lớn nhất là 87. Hãy tính xem thầy giáo \(A\) sinh năm nào?
b) Tìm hai số nguyên tố \(p, q(p \gt q)\) thỏa mãn điều kiện: \(5 p-1 \vdots q\) và \(5 q-1 \vdots p\).
Bài 2
(6 điểm)
a) Giải phương trình \[ \frac{3 x}{x^2+2 x-2}+\frac{5 x}{x^2+x-2}=\frac{7}{2} \]
b) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+x y+1=4 y \\ y(x+y)^2=2 x^2+7 y+2\end{array}\right. \]
Bài 3
(1.5 điểm)
Từ một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước \(5 dm, 8 dm\) (bề dày không đáng kể). Người ta cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn góc, mồi hình vuông bị cắt bỏ có độ đại cạnh là \(a dm\) (phần tô đậm là phần bị cắt bô) rồi gập lại đề được một hình hộp chữ nhật không có nắp (xem hình vê bên). Giá thị trường của loai hình hộp chữ nhật này được bán dựa trên thể tich chứa của khối hộp với mức giá 20 nghìn đồng/ \(\mathrm{dm}^3\). Hỏi giá trị a bằng bao nhiêu để có thể bán hình hộp chữ nhật nói trên với mức giá cao nhất, hãy tinh mức giá cao nhất đó?
Bài 4
(2 điểm)
Lễ khai trương siêu thị X có 999 khách hàng tham gia, các khách hàng được đánh số thứ tự là các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 999. Siêu thị công bố ba vòng tặng thưởng:
Vòng 1: Khách hàng có số thứ tự chia hết cho 12 được thưởng 100 nghìn đồng.
Vòng 2: Khách hàng có số thứ tự chia hết cho 5 và tổng các chữ số bằng 12 thì được thưởng 200 nghìn đồng.
Vòng 3: Khách hàng có số thứ tự có tổng các chữ số bằng 24 thì được thưởng 300 nghìn đồng.
Mỗi khách hàng đều được tham gia dự thưởng cả ba vòng nói trên (một khách hàng có thể được thưởng nhiều vòng). Chọn ngẫu nhiên một khách trong 999 khách hàng. Tính xác suát để chọn được khách hàng được thưởng 300 nghìn đồng.
Bài 5
(7 điểm)
Cho đường tròn \((O)\) và dây cung \(B C\) cố định ( \(B C\) không đi qua tâm). Trên cung lớn \(B C\) lấy điểm \(A\) sao cho tam giác \(A B C\) nhọn và \( A B \lt AC \). Tiếp tuyến tại A của đường tròn \((O)\) cắt tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \((O)\) tại điểm \(D\) và \(E\). Trên đường thằng \(B C\) lấy điểm \(K\) sao cho \(K E\) song song với \(B D\).
a) Chứng minh tam giác \(E A K\) cân.
b) Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(A B C\). Đường thẳng qua \(H\) cất các đường thẳng \(A B, A C\) lần lượt tại các điểm \(M, N\) sao cho \(H M=H N\). Chứng minh \(A H . H F=B F . N H\) với \(F\) là trung điểm \(B C\).
c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(A B\) và \(O D\). Vẽ \(G I\) vuông góc với \(A C\) ( \(I\) thuộc \(A C\) ). Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng \(IC\) luôn đi qua một điểm cố định khi \(A\) thay đổi.
Bài 6
(1 điểm)
Cho hình thang cân \(A B C D\) có diện tích bằng 10. Bên trong hình thang cân đó lấy tùy ý 2024 điểm phân biệt \(A_1, A_2, \ldots, A_{2024}\) sao cho trong 2028 điểm \(A, B, C, D, A_1, A_2, \ldots, A_{2024}\) không có 3 điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng từ 2028 điểm ở trên luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không vượt quá \( \frac{1}{405} \).