Bài 1
(4 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
\[ P=(x+3 y)\left(x^2-3 x y+9 y^2\right)-3 y(3 y-x)(x+3 y)-x\left(3 x y+x^2-5\right)-5 x+1 \]
2. Cho 3 số \(x,y,z\) thỏa mãn:
\[ xy + x + y = 3; yz+y+z = 8; zx + z + x = 15 \]
Tính giá trị của biểu thức: \(P=x+y^2+z^3\)
Bài 2
(4 điểm)
1. Tìm tất cả các giá trị của \(x\) thỏa mãn: \((1-x)^3+(3-x)^3=(4-2 x)^3\).
2. Tìm dư khi chia \(f(x)\) cho \(g(x)\) biết: \(f(x)=x^{100}+x^{99}+x^{98}+\ldots+x+1, g(x)=x^2-1\);
Bài 3
(4 điểm)
1. Tim các cặp số nguyên \((x ; y)\) thỏa mãn: \(x\left(x^2+x+1\right)=4^y-1\)
2. Cho \(x, y\) là các số nguyên thỏa mãn \(x^2-2 x y-y\) và \(x y-2 y^2-x\) đều chia hết cho 5 . Chứng minh rằng: \(2 x^2+y^2+2 x+y\) chia hết cho 5 .
Bài 4
(6 điểm)
Cho hình vuông \(A B C D\). Gọi \(E, K\) lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(C D\). Kẻ \(D M \perp C E\) tại \(M\)
1. Chứng minh tứ giác \(A D K E\) là hình chữ nhật và \(A M \perp K M\).
2. Phân giác góc \(D C E\) cắt cạnh \(A D\) tại \(F\). Chứng minh: \(C E=D F+B E\).
3. Chứng minh rằng \(C F \leq 2 E F\).
Bài 5
(2 điểm)
Cho \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 .
Chứng minh rằng: \(3 a^2+3 b^2+3 c^2+4 a b c \geq 13\).