Bài 1
(3 điểm)
1) Cho số thực \(x=\sqrt{29+12 \sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8 \sqrt{5}}\). Tính giá trị biểu thức
\[ P=\dfrac{x^4-8 x^2+13 x^2-16 x+31}{x^3-9 x^2+19 x-9} \]
2) Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với kỳ hạn một năm. Sau một năm bác An mong muốn có số tiền cả gốc và lãi ít nhất là 530 triệu đồng. Hỏi lãi suất của ngân hàng tại thời điểm bác An gửi tiền ít nhất là bao nhiêu % trong một năm, để bác An có được số tiền như mong muốn?
Bài 2
(3 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d: y=2 x-2 m+1\) ( \(m\) là tham số). Tìm \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox, Oy\) tại hai điểm \(A, B\) sao cho 3 đỉnh tam giác \(OAB\) nằm trên một đường tròn có bán kính \(5\sqrt{5}\) (với điểm \(O\) là gốc tọa độ).
2) Cho hình vuông \(ABCD\), độ dài cạnh bằng \(24 cm\). Trong hình vuông đó có đánh dấu 2026 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính \(2 cm\) chứa ít nhất 26 điểm trong các điểm trên.
Bài 3
(4 điểm)
1) Giải phương trình \(6 x^4-4 x^3-66 x^2+72 x+20=(x-1)(x^2+2 x-5) \sqrt{2 x+5}\).
2) Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{array}{l}8 x^3 y^3+6 x y^3-5 y^2=-1 \\ 6 x y^3-2 y^2=1\end{array}\right.\).
Bài 4
(2 điểm)
Cho ba số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=1\) và \(a+b>c ; a+c>b ; b+c>a\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}+\dfrac{a}{2 b c}+\dfrac{b}{2 c a}+\dfrac{c}{2 a b}-\dfrac{1}{2 a b c}\).
Bài 5
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) nhọn, các đường cao \(A D, B E, C F\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của HC, N là trung diểm của \(A C, A M\) cắt \(H N\) tại \(G\). Đường thắng đi qua \(M\) vuông góc với \(H C\) và đường thẳng đi qua \(N\) vuông góc với \(A C\) cắt nhau tại \(K\).
1) Chứng minh \(\triangle A B H\) đồng dạng \(\triangle M K N\) và tính \(\dfrac{G A^2+G B^2+G H^2}{G M^2+G K^2+G N^2}\).
2) Chứng minh \(3 \cos A+4 \cos B+6 \cos C<\dfrac{29}{4}\).
Bài 6
(3 điểm)
Cho tam giác đều \(A B C\), đường tròn \((O)\) tiếp xúc với ba cạnh \(A B, A C, B C\) lần luợt tại ba điểm \(D,E,F\). Điểm \(M\) thuộc đường tròn \((O)\), tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn \((O)\) cắt các cạnh \(AB, AC\) theo thứ tự \(P,Q\) \((P \neq A, D ; Q \neq A, E)\).
1) Kẻ \(QH\) vuông góc với \(AP\) tại \(H\). Chứng minh: \(2.AH^2+2AH.PH=AP.AQ\) và tỉ số \(\dfrac{PQ^2+AP.AQ}{AP^2+AQ^2}\) không đổi
2) Chứng minh \(\dfrac{A P}{B P}=\dfrac{A P-A Q+C Q}{B P+C Q}\)
Bài 7
(2 điểm)
Tìm các cặp số nguyên dương \((x, y)\) sao cho \(x^2 y+x+y\) chia hết cho \(x y^2+y+7\).