Bài 1
(2 điểm)
a/ Giải phương trình
\[ \sqrt{9-2 x^2}+\sqrt[3]{x^2+4}=3 \]
b) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \(4 x^2+y^2=32 z^2\). Chứng minh rằng
\[ \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}-\dfrac{1}{z} \geq 0 \]
Bài 2
(1 điểm)
Tồn tại hay không một tập hợp \(A\) khác rỗng, là tập con của tập các số tự nhiên và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau?
- Với hai số tự nhiên phân biệt bất kỳ mà có tổng là số chẵn thì ít nhất một trong hai số đó thuộc tập hợp \(A\).
- Với hai số tự nhiên phân biệt bất kỳ mà có tổng là số lẻ thì ít nhất một trong hai số đó không thuộc tập hợp \(A\)
Bài 3
(1 điểm)
Một rô-bốt di chuyển trên một bảng gồm 7 ô được đánh số từ 1 đến 7 như hình vẽ sau.
Ban đầu, rô-bốt đứng ở ô số 4. Mỗi bước, nó có thể nhảy sang trái hoăc sang phải, mỗi hướng có xác suất bằng nhau, và mỗi lần nhảy chỉ di chuyển đúng một ô. Tại ô số 1 và ô sô 7 có đặt kẹo, và khi rô-bốt đến một trong hai ô này, nó lấy kẹo và dừng lại. Tính xác suất để rô-bốt lấy kẹo sau đúng 3 bước.
Bài 4
(3 điểm)
a) Cho \(a, b\) là hai số nguyên trái dấu. Biết rằng phương trình \(x^2+a x+b=0\) có nghiệm nguyên và phương trình \(x^2+b x+a=0\) có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng \(a+b=-1\).
b) Tìm số nguyên \(z\) và các số hữu tỷ \(x, y\) thỏa mān điều kiện \(\dfrac{3}{\sqrt{2 x}}-1=1-\sqrt{\dfrac{3}{y}}=\dfrac{z}{x+y}\).
Bài 5
(3 điểm)
Cho tam giác nhọn, không cân \(A B C\) nội tiếp đường tròn \((O)\), gọi \(A H, A D\) lần lượt là đường cao và đường phân giác trong góc \(A(H, D \in B C)\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(A O\) và \(B C\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(A D\) cắt \((O)\) tại \(E, F\). Chứng minh rằng
a) Trực tâm của tam giác \(D E F\) thuộc \((O)\).
b) Bốn điểm \(H, E, F, M\) cùng thuộc một đường tròn.