Bài 1
(2 điểm)
a) Cho biểu thức
\[ M=\dfrac{x+4}{\sqrt{x}}+\dfrac{x \sqrt{x}-8}{x-2 \sqrt{x}}-\dfrac{x \sqrt{x}+8}{x+2 \sqrt{x}} \]
Chứng minh \(\mathrm{M}>8, \forall x>0, x \neq 4\). Tìm x để \(\dfrac{9}{M}\) nhận giá trị nguyên.
b) Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol \((\mathrm{P})\) : \(\mathrm{y}=\mathrm{x}^2\) và đường thẳng \((\mathrm{d})\) : \(\mathrm{y}=2(\mathrm{~m}-3) \mathrm{x}+4 \mathrm{~m}+8(\mathrm{~m}\) là tham số \()\).
Tìm giá trị của m để \((\mathrm{d})\) cắt \((\mathrm{P})\) tại hai điểm phân biệt \(\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_1 ; \mathrm{y}_1\right)\) và \(\mathrm{B}\left(\mathrm{x}_2 ; \mathrm{y}_2\right)\) sao cho biểu
Bài 2
(2 điểm)
a) Giải phương trình
\[ \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{48}{x^2}=10\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{4}{x}\right) \]
b) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l}|x y-2|=4-y^2 \\ x^2-x y+1=0\end{array}\right.\]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O. Hai tia BA và CD cắt nhau tại \(K\). Hai tia AD và BC cắt nhau tại I . Gọi \(\mathrm{M}, \mathrm{N}\) lần lượt là trung điểm AC và BD . Các đường phân giác trong của các góc BKC và góc BLA cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) \(\mathrm{DKL}+\mathrm{DLK}=\mathrm{ABC}\) và \(\mathrm{KIL}=90^{\circ}\)
b) \(\mathrm{KM} \cdot \mathrm{BD}=\mathrm{KN} . \mathrm{AC}\) và \(\mathrm{LM} \cdot \mathrm{BD}=\mathrm{LN} . \mathrm{AC}\)
c) Các đường phân giác trong của góc BKC, góc BLA và đường thẳng MN đồng quy
Bài 4
(1 điểm)
Cho \(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\) là ba số thực dương. Chứng minh:
\[ \dfrac{x^2}{\sqrt{8 x^2+3 y^2+14 x y}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{8 y^2+3 z^2+14 y z}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{8 z^2+3 x^2+14 z x}} \geq \dfrac{x+y+z}{5} \]
Bài 5
(2 điểm)
a) Tìm các số \(\mathrm{x}, \mathrm{y}\) nguyên dương thỏa mãn phương trình: \(16\left(x^3-y^3\right)=15 x y+371\)
b) Trung tâm thành phố Hải Phòng có tất cả 2016 bóng đèn chiếu sáng đô thị, bao gồm 670 bóng đèn ánh sáng trắng. 672 bóng đèn ánh sáng vàng nhạt, 674 bóng đèn ánh sáng vàng sậm. Người ta thực hiện dự án thay bóng đèn theo quy luật sau: Mỗi lần người ta tháo bỏ hai bóng đèn khác loại và thay vào đó bằng 2 bóng đèn thuộc loại còn lại. Hỏi theo quy trình trên, đến một lúc nào đó, người ta có thể nhận được tất cả các bóng đèn đều thuộc cùng một loại không?