Bài 1
(2 điểm)
a) Cho biểu thức
\(P=\dfrac{\sqrt{a^3}-\sqrt{b^3}}{a-b}-\dfrac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{b}{\sqrt{b}-\sqrt{a}}\) với \(\mathrm{a}, \mathrm{b}>0\)
và a khác b. Thu gọn rồi tính giá trị của P biết \((a-1)(b-1)+2 \sqrt{a b}=1\)
b) Cho phương trình \(x^2-x+b=0\) có các nghiệm \(x_1, x_2\) và phương trình \(x^2-97 x+a=0\) có các nghiệm là \(x_1^4\); \(x_2^4\). Tìm giá trị của a
Bài 2
(2 điểm)
a) Giải phương trình
\[ \left(9 x^2-18 x+5\right)\left(3 x^2-4 x\right)-7=0 \]
b) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{c}\sqrt{2 x+3 y}+\sqrt{2 x-3 y}=3 \sqrt{2 y} \\ 2 \sqrt{2 x+3 y}-\sqrt{2 x-3 y}=6\end{array}\right. \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \(O\) có \(A B<A C\). Các đường cao \(B D, C E\) cắt nhau tại \(H\) ( \(D\) thuộc \(A C, E\) thuộc \(A B\) ). Gọi M là trung điểm của BC , tia MH cắt đường tròn \((\mathrm{O})\) tại N
a) Chứng minh rằng năm điểm \(\mathrm{A}, \mathrm{D}, \mathrm{H}, \mathrm{E}, \mathrm{N}\) cùng thuộc 1 đường tròn
b) Lấy điểm P trên đoạn BC sao cho \(\widehat{B H P}=\widehat{C H M}, \mathrm{Q}\) là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng HP . Chứng minh rẳng tứ giác \(\operatorname{DENQ}\) là hình thang cân
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ tiếp xúc với đường tròn \((\mathrm{O})\)
Bài 4
(1 điểm)
Cho \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}>0\) và \(a+b+c \geq 9\). Tìm GTNN của
\[ A=2 \sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}}+3 \sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{9}{b}+\dfrac{25}{c}}\]
Bài 5
(2 điểm)
a) Tìm các số nguyên \(\mathrm{m}, \mathrm{n}\) với \(m \geq n \geq 0\) sao cho \((m+2 n)^3\) là ước của \(9 n\left(m^2+m n+n^2\right)+16\)
b) Trong dãy 2016 số thực \(\mathrm{a}_1, \mathrm{a}_2, \mathrm{a}_3, \ldots, \mathrm{a}_{2016}\), ta đánh dấu tất cả các số dương và số mà có ít nhất một tổng của nó với một số các số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương (ví dụ trong dãy \(-6,5,-3,3,1,-1,-2,-3, \ldots,-2011\) ta đánh dẫu các số \(a_2=5, a_3=-3, a_4=3\), \(a_5=1\) ). Chứng minh rằng nếu trong dãy đã cho có ít nhất một số dương thì tổng tất cả các số được đánh dấu là một số dương