Bài 1
(2 điểm)
a) Cho biểu thức
\[ Q=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{x-1}\right) \cdot\left(\dfrac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-x}\right)\]
(với \(x>0 ; x \neq 1\) ),
1) Rút gọn biếu thức \(Q\).
2) Tìm các giá trị của \(x\) để \(Q=-1\).
b) Cho phương trình \(x^2-2(m-1) x-2017 m^2-1=0\). Tim \(m\) để phương trinh có hai nghiệm phân biệt \(x_1<x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=2018\).
Bài 2
(2 điểm)
a) Giải phương trình
\[ \sqrt{x+1}-\sqrt{x-7}=\sqrt{12-x}\]
b) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l}x^3+x y^2-10 y=0 \\ x^2+6 y^2=10\end{array}\right.\]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) nhọn nội tiếp đường tròn \((O), Y\) trên cạnh \(C A, Z\) trên canh \(A B\) sao cho \(\widehat{A Z Y}>90^{\circ}\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A Y Z, S\) là giao điểm khác \(A\) của \(A I\) và đường tròn \((O)\).
a) Chứng minh rằng \(\widehat{S A C}=\widehat{A Z Y}-90^{\circ}\).
b) Gọi \(X\) là giao điểm của \(Y Z\) và \(B C, M\) là giao điểm khác \(Y\) của các đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A Y Z\) và \(C X Y\). Chứng minh rằng \(M\) nằm trên đường tròn \((O)\).
c) Gọi \(J, K\) là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác \(B Z X\) và \(C X Y, T\) là giao điềm của \(A I\) và \(B J\). Chứng minh rằng 6 điểm \(T, O, M, I, J, K\) cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4
(1 điểm)
Cho các số dương \(a, b, c\), chứng minh rằng
\[ \dfrac{a^4}{b^3(c+2 a)}+\dfrac{b^4}{c^3(a+2 b)}+\dfrac{c^4}{a^3(b+2 c)} \geq 1 \]
Bài 5
(2 điểm)
a) Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^{16}+y^{16}+2017=z^{16}\).
b) A và B chơi một trò chơi, A chơi trước. Ban đầu có \(n\) viên sỏi. Trong mồi lượt chơi của minh, người chơi sẽ lấy ra 4,5 hoặc 7 viên sỏi. Quá trình đó tiếp tưc như vậy. Ai đển lượt chơi của mình mả không thể lấy thêm sỏi là thua cuộc. Biết cả hai đều là người chơi thông minh, chứng minh rẳng nếu \(n\) có dạng \(11 k+l\) với \(k, l \in \mathbb{N}, 0 \leq l \leq 3\) thì B thắng cuộc.