Bài 1
(2 điểm)
a) Cho biểu thức
\[ P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{4-x}: \dfrac{1}{2 \sqrt{x}-x}+\dfrac{1}{2-\sqrt{x}}\]
với \(x>0\) và \(x \neq 4\).
Rút gọn biểu thức \(P\). Tìm giá trị của x để \(P>\dfrac{1}{7}\)
b) Cho phương trình \(x^2+6 x-6 m-m^2=0(1)\) (với \(m\) là tham số). Tìm giá trị của \(m\) đề phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn \(x_1^2=6 x_1+x_2\)
Bài 2
(2 điểm)
a) Giải phương trình \(\sqrt{3 x-2}-\sqrt{x+1}=2 x^2+x-6\)
b) Giải phương trình \(\left\{\begin{array}{c}y^2-x y-2 x^2=6(x+y) \\ (4 x+1)^2=3(4 y-21)\end{array}\right.\)
Bài 3
(3 điểm)
Cho đường tròn \((\mathrm{O})\) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến \(\mathrm{AB}, \mathrm{AC}\) với đường tròn \((\mathrm{B}, \mathrm{C}\) là các tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt đường tròn \((\mathrm{O})\) tại hai điểm \(\mathrm{D}, \mathrm{E}(\mathrm{D}\) nằm giữa A và E\()\). Gọi H là giao điểm của BC và AO.
a) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
b) Trên cung nhỏ CD của đường tròn \((\mathrm{O})\) lấy điểm F tùy ý ( F khác \(\mathrm{C}, \mathrm{D}\) ). Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với lần lượt cắt \(\mathrm{FC}, \mathrm{FE}\) lần lượt tại \(\mathrm{M}, \mathrm{N}\).
Chứng minh rằng \(\dfrac{A B}{A E}=\dfrac{B D}{B E}\) và \(\dfrac{N F}{N E}=\dfrac{B D^2}{B E^2}\)
c) MB cắt \((\mathrm{O})\) tại \(\mathrm{P}(\mathrm{P}\) khá B\()\). chứng minh rằng NH song song với PD.
Bài 4
(1 điểm)
Cho ba số dương \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) thỏa mãn \(a b c=2\). Chứng minh rằng
\[ a^3+b^3+c^3 \geq a \sqrt{b+c}+b \sqrt{c+a}+c \sqrt{a+b} \]
Bài 5
(2 điểm)
a) Với mỗi số nguyên dương \(n\), ký hiệu \(S_n=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\). Chứng minh rằng \(24(2 n+3) S_n+1\) là số chính phương.
b) Đặt tù̀y ý 2018 tấm bìa hình vuông canh bằng 1 nằm trong một hình vuông lớn có cạnh bằng 131 . Chứng minh rằng trong hình vuông lớn, ta luôn đặt được một một hình tròn bán kính 1 sao cho hình tròn trên không có điểm chung với bất cứ hình vuông nào.