Bài 1
(2 điểm)
a) Cho biều thức
\[ P=\left(\frac{3 \sqrt{x}}{x \sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}\right): \frac{\sqrt{x}+3}{x-\sqrt{x}+1} \quad(x \geq 0) \]
Rút gọn biều thức \(P\). Tìm các giá trị của \(x\) đề \(P \geq \frac{1}{5}\).
b) Cho phương trình \(x^2+4 x-m=0\) ( \(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) đề phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thỏa mãn
\[ \left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)=4(m+2) \]
Bài 2
(2 điểm)
a) Giải phương trình
\[ 2 x^2+3 x-2=(2 x-1) \sqrt{2 x^2+x-3} \]
b) Giải hệ phương trình
\[ \begin{cases}x^3+y \sqrt{y} & =9 \\ x^2+2 y & =x+4 \sqrt{y}\end{cases} \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) nhọn nội tiếp đường tròn \((O)(A B<A C)\). Kẻ đường cao \(A H\) \((H \in B C)\) của tam giác \(A B C\) và kẻ đường kính \(A D\) của đường tròn \((O)\).
a) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(D H\). Chứng minh \(O M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(B C\).
b) Gọi \(S, T\) là các giao điểm của đường tròn \((O)\) với đường tròn tâm \(A\), bán kính \(A H ; F\) là giao điểm của \(S T\) và \(B C\). Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(D H\) tại \(E\). Chứng minh \(F B \cdot F C=F H^2\) và ba điểm \(F, E, A\) thẳng hàng.
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(B C M\) tiếp xúc với đường tròn tâm \(A\) bán kính \(A H\).
Bài 4
(1 điểm)
Cho \(x, y, z\) là ba số thực dương thỏa mãn \(x(x-z)+y(y-z)=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất cùa biểu thức
\[ P=\frac{x^3}{x^2+z^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+4}{x+y} \]
Bài 5
(2 điểm)
a) Tìm các số nguyên tố \(p, q\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau
i. \(p^2 q+p\) chia hết cho \(p^2+q\),
ii. \(p q^2+q\) chia hết cho \(q^2-p\).
b) Viết lên bảng 2019 số
\[ 1 ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{3} ; \ldots ; \frac{1}{2018} ; \frac{1}{2019} \]
Từ các số đã viết, xóa đi hai số bất kỳ \(x, y\) rồi viết lên bảng số \(\frac{x y}{x+y+1}\) (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên cho đến khi bảng chi còn lại đúng một số. Hòi số đó bằng bao nhiêu?