Bài 1
(2 điểm)
a) Cho biểu thức
\[ P=\left(\dfrac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1+\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\right)\]
Rút gọn \(P\). Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(P \leq-\dfrac{1}{7}\).
b) Cho phương trình ẩn \(x\) là \(x^{2}-p x+q=0(1)\) (với \(p ; q\) là các số nguyên tố). Tìm tất cả các giá trị của \(p\) và \(q\) biết phương trình \((1)\) có nghiệm là các số nguyên dương.
Bài 2
(2 điểm)
a) Giải phương trình
\[ (x+1) \sqrt{-x^{2}+2 x+6}=3+2 x\]
b) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2 x y^{2} \\ \dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{y}=2\end{array}\right.\]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A(A B<A C), M\) là trung điểm cạnh \(B C\). \(P\) là một điểm di động trên đoạn \(A M\) ( \(P\) khác \(A\) và \(M)\). Đường tròn đi qua \(P\), tiếp xúc với đường thẳng \(A B\) tại \(A\), cắt đường thẳng \(B P\) tại \(K(K\) khác \(P)\). Đường tròn đi qua \(P\), tiếp xúc với đường thẳng \(A C\) tại \(A\), cắt đường thẳng \(C P\) tại \(L(L\) khác \(P)\).
a) Chứng minh \(B P . B K+C P . C L=B C^{2}\).
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(P K C\) luôn đi qua hai điểm cố định.
c) Gọi \(J\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(P K C\) và \(E\) là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng \(A C\). Gọi \(I\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(P L B\) và \(F\) là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thă้ng \(A B\). Chứng minh \(E F / / I J\).
Bài 4
(1 điểm)
Cho ba số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x y+y z+z x=5\). Chứng minh
\[ \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^{2}+5}}+\dfrac{3 z}{\sqrt{6\left(z^{2}+5\right)}} \leq \dfrac{2 \sqrt{6}}{3} \]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào?
Bài 5
(2 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên \(x^{2} y-x y-2 x^{2}+5 x=4\).
b) Giả sử rằng \(A\) là tập hợp con của tập hợp \(\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 1023\}\) sao cho \(A\) không chứa hai số nào mà số này gấp đôi số kia. Hỏi \(A\) có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?