Bài 1
(2 điểm)
1) Cho biểu thức
\[ A=\left(\frac{1}{x \sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\right) \cdot\left(\sqrt{x}-4+\frac{4 \sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}\right)\]
(với \(x \geq 0, x \neq 1\) ). Rút gọn biểu thức \(A\) và tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A \geq 2\).\\
2) Cho hai phương trình (ẩn \(x\); tham số \(a, b\) )
\[ x^{2}+a x+b=0 (1) \]
\[ x^{2}+b x+2 a=0 (2)\]
Tìm tất cả các cặp số thực \((a ; b)\) để mỗi phương trình trên đều có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_{2}-x_{1}=x_{0}\), trong đó \(x_{0}\) là nghiệm chung của hai phương trình và \(x_{1}, x_{2}\) lần lượt là hai nghiệm còn lại của phương trình (1), phương trình (2).
Bài 2
(2 điểm)
a) Giải phương trình
\[ \sqrt{3 x+2}-2 \sqrt{x}=2-x\]
b) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+x y=x+4 \\ y^{2}+2 x y=y-4\end{array}\right.\]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác nhọn \(A B C \quad(A B \neq A C)\) nội tiếp đường tròn \((O)\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc \(\widehat{B A C}\) của tam giác \(A B C\). Đường thẳng \(A I\) cắt \(B C\) tại \(D\), cắt đường tròn \((O)\) tại \(E(E \neq A)\).
a) Chứng minh \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(I B C\).
b) Kẻ \(I H\) vuông góc với \(B C\) tại \(H\). Đường thẳng \(E H\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(F(F \neq E)\). Chứng minh \(A F \perp F I\).
c) Đường thẳng \(F D\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(M(M \neq F)\), đường thẳng \(I M\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(N(N \neq M)\). Đường thẳng qua \(O\) song song với \(F I\) cắt \(A I\) tại \(J\), đuờng thẳng qua \(J\) song song với \(A H\) cắt \(I H\) tại \(P\). Chứng minh ba điểm \(N, E, P\) thẳng hàng.
Bài 4
(1 điểm)
Cho các số thực dương \(x, y, z\). Chứng minh rằng
\[ \frac{x \sqrt{x y}}{\sqrt{2 x+y}}+\frac{y \sqrt{y z}}{\sqrt{2 y+z}}+\frac{z \sqrt{z x}}{\sqrt{2 z+x}} \geq \sqrt{3 x y z} \]
Bài 5
(2 điểm)
a) Tìm các số nguyên dương \(x, y\) thỏa mãn \(y^{4}+2 y^{2}-3=x^{2}-3 x\).
b) Cho tập hợp \(X=\{1 ; 2 ; 3 ; \ldots ; 101\}\). Tìm số tự nhiên \(n(n \geq 3)\) nhỏ nhất sao cho với mọi tập con \(A\) tùy ý gồm \(n\) phần tử của \(X\) dều tồn tại 3 phần tử đôi một phân biệt \(a, b, c \in A\) thỏa mãn \(a+b=c\).