Bài 1
(2 điểm)
a) Cho biểu thức
\[ A=\dfrac{x+4}{\sqrt{x}}+\dfrac{x \sqrt{x}-8}{x-2 \sqrt{x}}+\dfrac{x^{2}-2 x \sqrt{x}+8 \sqrt{x}-16}{4 \sqrt{x}-x \sqrt{x}}\]
với \(x>0, x \neq 4\). Rút gọn \(A\). Chứng minh rằng \(A>8\).
b) Biết phương trình \(a x^{2}+b x+c=0\) với \(a \neq 0\) có hai nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thoả mãn \(0 \leq x_{1}, x_{2} \leq 1\). Chứng minh rằng \(\dfrac{3}{4} \leq \dfrac{(a-b)(2 a-c)}{a(a-b+c)} \leq 2\).
Bài 2
(2 điểm)
a) Giải phương trình
\[ x^{2}-10 x+14=2 \sqrt{2 x+1}\]
b) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l}x^{2}+4 y^{2}-4 y=33 \\ x^{2}+2 y^{2}-3 x y+4 x-5 y+3=0\end{array}\right.\]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) cân \((A B=A C>B C)\) nội tiếp đuờng tròn \((O)\). Các đường phân giác trong \(B D, C E\) của tam giác \(A B C\) cắt nhau tại \(I, B I\) cắt \((O)\) tại \(F \neq B\). Điểm \(H\) đối xứng với \(C\) qua \(D\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(H B C\) cắt \(B I\) tại \(K \neq B\).
a) Chứng minh rằng \(D C^{2}=D I . D B\) và \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(I K\).
b) Kẻ \(K M\) song song với \(A C\) với \(M \in F C\). Chứng minh rằng \(M\) đối xứng với \(I\) qua \(A C\).
c) Gọi \(N\) là giao điểm của \(F C\) và \(A I, J\) là tâm của đuờng tròn ngoại tiếp tam giác \(I B E\). Chứng minh rằng \(M, N, J, D\) cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4
(1 điểm)
Cho \(x, y, z>0\) thoả mãn \(3 x^{2} \leq 2\left(y^{2}+4 y z+z^{2}\right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[ P=\dfrac{y^{2}}{\sqrt{3 x^{2}+20 x y+12 y^{2}}}+\dfrac{z^{2}}{\sqrt{3 x^{2}+20 x z+12 z^{2}}}+\dfrac{4}{(y+z)^{2}} \]
Bài 5
(2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu \(2^{n}=10 a+b\) với \(a, b, n \in \mathrm{Z}^{+}\)thoả mãn \(0<b<10\) thì \(a b: 6\).
b) Viết lên bảng 229 số tự nhiên liên tiếp \(1,2,3, \ldots, 229\). Từ các số đã viết xoá đi bốn số bất kỳ \(x, y, z, t\) rồi viết lên bảng số \(\dfrac{x+y+z+t}{2}\) (các số còn lại trên bảng giữ nguyên). Tiếp tục thực hiện thao tác trên đến khi trên bảng chỉ còn lại đúng một số, gọi số đó là \(a\). Chứng minh rằng \(a<2022\).