Bài 1
(2 điểm)
a) Cho phương trình \(x^2-(2 m+1) x+m-1=0, m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm trái dấu \(x_1<0<x_2\) sao cho
\[ \left|x_1\right|+2\left|x_2\right|=3 \]
b) Giải hệ phương trình sau
\[ \left\{\begin{array}{l} (x+1)\left(x^2+1\right)=y^3+1 \\ (y+1)\left(y^2+1\right)=x^3+1 \end{array}\right. \]
Bài 2
(1.5 điểm)
Cho ba số nguyên dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=4 a b c-1\).
a) Chứng minh rằng \(a b c \geq 1\).
b) Chứng minh rằng \(a+b+c \geq \sqrt{a b c}+2\).
Bài 3
(2 điểm)
Cho hai số nguyên \(a, b \geq 3\) thỏa mãn \(a^2=b^3+a b\).
a) Chứng minh \(a, b\) đều là số tự nhiên chẵn.
b) Chứng minh \(4 b+1\) là số chính phurơng.
c) Chứng minh rằng \(a\) không là lũy thừa lớn hơn 1 của một số nguyên dương.
Bài 4
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C(A B /lt A C)\) nội tiếp dường tròn \((\mathrm{O})\). Kẻ các đường cao \(A D, B E(D \in B C, E \in A C)\), gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(A B C\).
a) Gọi M là trung điểm của \(\mathrm{AH}, \mathrm{AD}\) cắt đường tròn \((\mathrm{O})\) tại F . Chứng minh \(\widehat{H E M}=\widehat{H F B}\).
b) Đường thẳng qua M song song BC và tiếp tuyến của \((\mathrm{O})\) tại A cắt nhau tại P. Chứng minh tứ giác \(A P D O\) nội tiếp.
c) Chứng minh \(P H \perp O F\).
Bài 5
(1.5 điểm)
Lớp 9 A của trương THCS K có 30 bạn gồm 16 nam và 14 nữ. Biết lớp học có 15 cái bàn, mỗi bàn có hai học sinh ngồi.
a) Chứng minh rằng có một bàn mà có đúng hai học sinh nam ngồi.
b) Nhà trường muốn chọn một nhóm gồm n học sinh từ các học sinh của lớp 9A đi dự hội trại. Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho có thể chọn được nhóm học sinh mà trong nhóm này không có hai học sinh nào ngồi cạnh nhau.