Bài 1
(2 điểm)
1) Rút gọn biểu thức:
\[ P=\dfrac{3 x+5 \sqrt{x}-11}{x+\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-1\]
với \(x \geq 0\) và \(x \neq 1\).
2) Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(x^2-2 m x+(m-1)^3=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 ; x_2\) thỏa mãn \(x_1=x_2^2\).
Bài 2
(2 điểm)
1) Giải phương trình \(x^2+\sqrt[3]{x^4-x^2}=2 x+1\).
2) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l}3 y^2+4 x y+45=12(x+2 y) \\ x^2+y^2=10\end{array}\right.\]
Bài 3
(2 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(k\) và \(a\) là số nguyên tố lớn hơn 5 thì \(a^{4 k}-1\) luôn chia hết cho 240 .
2) Xét các số dương thay đồi \(a, b, c\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ T=\dfrac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a b+b c+c a}+\dfrac{27(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^3} \]
Bài 4
(3 điểm)
Cho tam giác nhọn \(A B C(A B \lt A C)\) nội tiếp đường tròn \((O)\), đường cao \(A H\). Các tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn \((O)\) cắt nhau tại \(T\). Gọi \(D\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(A T\) và đường tròn \((O) ; M\) là trung điểm của \(B C\).
1) Chứng minh ba điềm \(O, M, T\) thẳng hàng và \(\widehat{B A H}=\widehat{O C A}\).
2) Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \(A T\). Chứng minh \(\triangle B K D\) đồng dạng với tam giác \(\triangle B A C\) và \(A B \cdot A C=2 A K . A M\).
3) Gọi \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(A M\). Chứng minh tứ giác \(H K P M\) là hình thang cân.
Bài 5
(1 điểm)
Xét một nhóm gồm 21 người. Hai người \(A\) và \(B\) trong nhóm gọi là "có mối quen biết nhau" nếu \(A\) quen với \(B\), hoặc có \(n\) người \(C_1, C_2, \ldots, C_n\) ( \(n\) nguyên dương) sao cho \(A\) và \(C_1\) quen nhau, \(C_1\) và \(C_2\) quen nhau, \(\ldots, C_n\) và \(B\) quen nhau. Biết rằng với 6 người tùy ý trong nhóm đó luôn có hai người "có mối quen biết nhau". Chứng minh rằng trong nhóm này luôn tồn tại một nhóm 5 người đôi một "có mối quen biết nhau".