Bài 1
(2 điểm)
Câu 1.
(1) Giải phương trình
\[
x^2-3 x+10=4 \sqrt{x+2}
\]
(2) Cho các số thực \(x, y\) thoả mãn
\[
x^3-3 x^2+6 y=11 \quad \text { và } \quad y^3-3 y^2+6 x=-3 \text {. }
\]
Tính giá trị của biểu thức \(S=x+y\).
Cách giải 1:
1) Giải phương trình:
\[
x^2 - 3x + 10 = 4\sqrt{x} + 2 \tag{*}
\]
Điều kiện:
\[
x + 2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq -2
\]
Biến đổi phương trình (*) ta có
\[
x^2 - 3x + 10 = 4\sqrt{x + 2} \leftrightarrow x^2 - 4x + 4 = 4\sqrt{x + 2} - x - 6 \leftrightarrow (x-2)^2 = - (\sqrt{x + 2} - 2)^2
\]
Do
\[
(x-2)^2 \geq 0
\]
và
\[
- (\sqrt{x + 2} - 2)^2 \leq 0
\]
Nên phương trình đã cho tương đương
\[
(x-2)^2 = 0
\]
và
\[
- (\sqrt{x + 2} - 2)^2 = 0
\]
Giải ra ta được \(x = 2\) là nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 2
(2 điểm)
(1) Tìm các số nguyên \(x, y\) thoả mãn
\[
x^2-5 x y+6 y^2-5 x+12 y+3=0 .
\]
(2) Tìm số nguyên \(x\) sao cho \(x^2+3 x+1\) là luỹ thừa của 5 .
Bài 3
(2 điểm)
Cho các số thực \(a, b, c\) thoả mãn \(1 \leqslant a, b, c \leqslant 3\) và \(a+b+c=6\). Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
\[
P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} .
\]
Bài 4
(2 điểm)
Từ điểm A nằm ngoài (O ; R), vẽ các tiếp tuyến A B, A C đến (O). Gọi A O cắt B C tại D. Trên A B, A C lần lượt lấy F, E sao cho E F || B C, O E>R, \(A E \neq E C\), O E cắt B C tại G. Lấy điểm K nằm trên A B sao cho K E là tiếp tuyến của (O).
a) Chứng minh \(\triangle A K O \backsim \triangle C G O\).
b) Gọi E F cắt O C tại S, A D cắt E F tại H. Chứng minh rằng
\[
\frac{A K}{B K}=\frac{S E}{H E} \quad \text { và } \quad \frac{A K}{B K}=\frac{A E \cdot C E}{H E^2} .
\]
c) Dường thẳng qua E song song với C D cắt A D tại J. Trên tia đối của tia C A, lấy điểm L sao cho L J là phân giác \(\widehat{A L B}\). Gọi K L, A D cắt B E tại M, N. Chứng minh rằng B M=E N.
Bài 5
(2 điểm)
(1) Cho \(a_1
(2) Đặt
\[
T=\{10 a+b \mid a, b \in \mathbb{N}, 1 \leqslant a