Bài 1
(3 điểm)
a) Cho biểu thức \[ A = \left( 1 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 1}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} + \frac{\sqrt{x} + 2}{3 - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 5\sqrt{x} + 6} \right), \quad (x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9). \] Rút gọn biểu thức \(A\) và tìm các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(A\) nhận giá trị nguyên.
b) Cho hệ phương trình \[ \begin{cases} mx - y = 2, \\ 3x + my = 5 \end{cases} \] với \(m\) là số thực. Tìm giá trị của \(m\) để hệ phương trình trên có nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn \(x > 0, y > 0\).
Bài 2
(3 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\) chẵn thì \(n^3 + 20n + 96\) chia hết cho 48.
b) Cho ba số dương \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + y + z = 6\). Chứng minh rằng: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{9}z. \]
Bài 3
(1 điểm)
Một phòng đọc của một thư viện có ba kệ sách. Nếu chuyển 150 quyển sách từ kệ thứ hai sang kệ thứ ba thì số sách ở kệ thứ hai bằng \(\frac{2}{3}\) số sách ở kệ thứ ba. Nếu chuyển 50 quyển sách từ kệ thứ hai sang kệ thứ nhất và 50 quyển sách từ kệ thứ ba sang kệ thứ nhất thì số sách ở kệ thứ nhất và kệ thứ ba bằng nhau. Nếu chuyển 150 quyển sách từ kệ thứ hai sang kệ thứ nhất thì số sách ở kệ thứ nhất bằng \(\frac{9}{8}\) số sách ở kệ thứ hai. Tính số sách ban đầu ở mỗi kệ.
Bài 4
(3 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có ba đường cao \(AD, BE, CF\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh \(BH \cdot BE = BC \cdot BD\) và \(BH \cdot BE + CH \cdot CF = BC^2\).
b) Chứng minh \(BH = AC \cdot \cos \angle ABC\).
c) Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là chân đường vuông góc từ \(H\) đến \(BE, CF, AB, AC\). Chứng minh 4 điểm \(M, N, P, Q\) thẳng hàng.