Bài 1
(5 điểm)
1. Cho biểu thức: \(A=\left(2-\dfrac{2 \sqrt{x y}+1}{1+\sqrt{x y}}+\dfrac{1+\sqrt{x y}+2 \sqrt{x}}{1-x y}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x y}-\sqrt{x}}{\sqrt{x y}+1}-\dfrac{\sqrt{x y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x y}-1}\right)\) ( với
\(x>0 ; y>0 ; x y \neq 1),(2)\)
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Cho \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=12\), tìm giá trị lớn nhất của \(A\).
1.2. Xét ba số thực dương \(a, b, c\) thoả mãn \(\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{c^2+1}}{b}-\dfrac{a c}{c+\sqrt{c^2+1}}\). Tính giá trị biểu thức
\[P=\dfrac{1}{\sqrt{a b}+a \sqrt{b c}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b c}+\sqrt{b}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c a}+\sqrt{c}+1}\]
Bài 2
(2 điểm)
Khởi động một giờ học, cô An cho lớp chơi trò chơi "Quay số nhận quà'". Vòng quay số gồm 6 ô gắn các số tự nhiên từ 1 đến 6 (mỗi số gắn trên một ô). Người chơi được quay số 3 lần. Sau 3 lần quay, nếu kết quả nhận được có đủ các số 3, 5, 1, 2 thì sẽ được nhận quà. Hãy tính xác suất để người chơi được nhận quà.
Bài 3
(2 điểm)
Bình khởi hành từ thành phố Lào Cai về huyện Bảo Thắng. Sau 60 phút, Minh và An khởi hành từ huyện Bảo Thắng về thành phố Lào Cai. Trên đường đi, Bình gặp Minh và An ở hai địa điểm cách nhau 6 km. Tính vận tốc của Bình. Biết rằng thành phố Lào Cai cách huyện Bảo Thắng 33 km; vận tốc của Bình gấp rưỡi vận tốc của An và bằng \(\dfrac{3}{2}\) vận tốc của Minh.
Bài 4
(2 điểm)
1. Cho \(a, b\) là các số thực thỏa mãn \(a+b+a b=8\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=a^2+b^2\).
2. Với \(a, b, c>0,3 b c-a c-a b=1\). Chứng minh rằng \(a^3 b^3 c^3+b^3+c^3 \geq 3 b^3 c^3\).
Bài 5
(3 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n > 3\) thì \(A = n^3 - n^2 - n - 2\) không phải là số nguyên tố.
2) Cho \(x, y\) là các số nguyên thỏa mãn \(3xy(x - y) + 1\) chia hết cho 3. Chứng minh \(x + y\) chia hết cho 3.
3) Tìm tất cả các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn phương trình: \[ 6x^2 - xy - 2y^2 + 4x + 2y - 7 = 0. \]
Bài 6
(6 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB \gt AC\) nội tiếp đường tròn \((O)\), có đường cao \(AH\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Đường thẳng \(AI\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \((O)\). Đường thẳng \(MK\) cắt các đường thẳng \(AH\) và \(BC\) thứ tự tại \(P\) và \(Q\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\).
a) Chứng minh: \(FA.FM=FH.FQ\).
b) Chứng minh: \(\triangle AKP\) cân.
c) Chứng minh: \(MB^2=MK . MQ\) và tứ giác \(QIHP\) nội tiếp.
d) Đường thẳng \(KI\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(R\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AR\). Chứng minh ba điểm \(Q,I,E) thẳng hàng.