Bài 1
(5 điểm)
1. Cho biểu thức: \(A=\left(2-\dfrac{2 \sqrt{x y}+1}{1+\sqrt{x y}}+\dfrac{1+\sqrt{x y}+2 \sqrt{x}}{1-x y}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x y}-\sqrt{x}}{\sqrt{x y}+1}-\dfrac{\sqrt{x y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x y}-1}\right)\) ( với
\(x>0 ; y>0 ; x y \neq 1),(2)\)
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Cho \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}=12\), tìm giá trị lớn nhất của \(A\).
1.2. Xét ba số thực dương \(a, b, c\) thoả mãn \(\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{c^2+1}}{b}-\dfrac{a c}{c+\sqrt{c^2+1}}\). Tính giá trị biểu thức
\[P=\dfrac{1}{\sqrt{a b}+a \sqrt{b c}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b c}+\sqrt{b}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c a}+\sqrt{c}+1}\]
Cách giải 1:
Ý 1. a) Rút gọn A ;
\(A=\left(\dfrac{2(1-x y)-(2 \sqrt{x y}+1)(1-\sqrt{x y})+(1+\sqrt{x y}+2 \sqrt{x})}{1-x y}\right):\left(\dfrac{(\sqrt{x y}-\sqrt{x})(\sqrt{x y}-1)-(\sqrt{x y}+\sqrt{x})(\sqrt{x y}-1)}{x y-1}\right)\)
\(=\dfrac{2(1+\sqrt{x})}{1-x y}: \dfrac{2 \sqrt{x y}(1+\sqrt{x})}{1-x y}=\dfrac{1}{\sqrt{x y}}\)
b) Ta có
\(12=\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}} \geqslant \dfrac{2}{\sqrt[4]{\mathrm{xy}}}=2 \cdot \sqrt{A} \Rightarrow 6 \geqslant \sqrt{A} \Rightarrow 36 \geqslant A\)
A đạt GTLN \(=36\) khi \(x=y=\dfrac{1}{36}\)
Ý 2.
\(\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sqrt{c^2+1}}{b}-\dfrac{a c}{c+\sqrt{c^2+1}} \Rightarrow 0=\dfrac{\sqrt{c^2+1}-c}{b}-\dfrac{a c\left(-c+\sqrt{c^2+1}\right)}{1} \Rightarrow\left(\sqrt{c^2+1}-c\right)\left(\dfrac{1}{b}-a c\right)=0\)
Do \(\left(\sqrt{c^2+1}-c\right)>|c|-c \geq 0\) nên \(\dfrac{1}{b}-a c=0\) hay \(a b c=1\)
\[P=\dfrac{1}{\sqrt{a b}+a \sqrt{b c}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b c}+\sqrt{b}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c a}+\sqrt{c}+1}\]
\[=\dfrac{1}{\sqrt{a b}+\sqrt{a} \sqrt{a b c}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b c}+\sqrt{b}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c a}+\sqrt{c}+1}\]
\[=\dfrac{1}{\sqrt{a b}+\sqrt{a}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{b c}+\sqrt{b}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{c a}+\sqrt{c}+1}\]
Đặt \(\sqrt{a}=x ; \sqrt{b}=y ; \sqrt{c}=z\). Ta có \(x y z=1\). Ta có
\[P=\dfrac{1}{x y+x+1}+\dfrac{1}{y z+y+1}+\dfrac{1}{z x+z+1} \]
\[= \dfrac{1}{x y+x+1}+\dfrac{x}{x y z+x y+x}+\dfrac{x y}{x^2 y z+x y z+x y}\]
\[= \dfrac{1}{x y+x+1}+\dfrac{x}{1+x y+x}+\dfrac{x y}{x+1+x y}=1\]
Vậy \(P=1\)
Bài 2
(2 điểm)
Khởi động một giờ học, cô An cho lớp chơi trò chơi "Quay số nhận quà'". Vòng quay số gồm 6 ô gắn các số tự nhiên từ 1 đến 6 (mỗi số gắn trên một ô). Người chơi được quay số 3 lần. Sau 3 lần quay, nếu kết quả nhận được có đủ các số 3, 5, 1, 2 thì sẽ được nhận quà. Hãy tính xác suất để người chơi được nhận quà.
Cách giải 1:
Không gian mẫu có \(6.6 .6=216\) phần từ
Khả năng thuận lợi: Ta cần xác suất để kết quả 3 lần quay có chứa các chữ số 3,1 và 12 (có thể xuất hiện theo bất kỷ thứ tự nào). Tức là, ta cần 3 lần quay cho ra chinh xác ba số 3,1 và 2 .
Số kết quả có thể có các số 3,1 , và 2 (các số này xuất hiện 3 lần trong các ô quay, và mỗi lần quay có thể là 3,1 , hoặc 2 ).
Các kết quả có thể xảy ra theo các thứ tự khác nhau của ba số này.
Vậy số kết quả mong muốn là số cách sắp xếp ba số 3,1 số khác nhau: và 2 trong 3 lần quay, tức là số hoán vị của 3 số khác nhau :
\[ 3!=3 \times 2 \times 1=12 \]
Do đó xác suất \(P=\dfrac{1}{36}\)
Bài 3
(2 điểm)
Bình khởi hành từ thành phố Lào Cai về huyện Bảo Thắng. Sau 60 phút, Minh và An khởi hành từ huyện Bảo Thắng về thành phố Lào Cai. Trên đường đi, Bình gặp Minh và An ở hai địa điểm cách nhau 6 km. Tính vận tốc của Bình. Biết rằng thành phố Lào Cai cách huyện Bảo Thắng 33 km; vận tốc của Bình gấp rưỡi vận tốc của An và bằng \(\dfrac{3}{2}\) vận tốc của Minh.
Cách giải 1:
Gọi Lào Cai là B, Bảo Thẳng là D, vị trí gặp nhau của Minh và Bình là M , của Bình và An là A. Gọi vận tốc của Bình là \(x\) \(km/h\), vận tốc của An là \(\dfrac{2}{3} x\) \(km / h\), vận tốc của Minh là \(\dfrac{3 x}{2}\) \(km / h\), thời gian Bình đến M gặp Minh là \(y(h)(y>0)\).
Ta có \(D M=\dfrac{3}{2} x\left(y-\dfrac{1}{12}\right) ; B M=x y ; B M+D M=33\) nên \(20 x y-x=264\)
\(D A=\dfrac{2}{3} x\left(y-\dfrac{1}{12}+\dfrac{6}{x}\right)=\dfrac{2}{3} x y-\dfrac{1}{18} x+4\)
\(D M=\dfrac{3}{2} x y-\dfrac{1}{8} x\)
Ta có \(D A+6=D M \rightarrow \dfrac{2}{3} x y-\dfrac{1}{18} x+4+6=\dfrac{3}{2} x y-\dfrac{1}{8} x \rightarrow \dfrac{5}{6} x y-\dfrac{5}{72} x=10\)
Từ (1) và (2) suy ra \(x y=15 ; x=36\)
Do đó vận tốc của Bình là \(36\) \(km / h\); vận tốc của An là \(24\) \(km / h\), vận tốc của Minh là \(54\) \(km / h\)
Bài 4
(2 điểm)
1. Cho \(a, b\) là các số thực thỏa mãn \(a+b+a b=8\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=a^2+b^2\).
2. Với \(a, b, c>0,3 b c-a c-a b=1\). Chứng minh rằng \(a^3 b^3 c^3+b^3+c^3 \geq 3 b^3 c^3\).
Cách giải 1:
1. Cách 1:
\[\left.\begin{array}{c}2\left(a^2+b^2\right) \geqslant 4 a b \\a^2+4 \geqslant 4 a \\b^2+4 \geqslant 4 b\end{array}\right\} \Rightarrow 3 P+8 \geqslant 4(a b+a+b)=4.8 \rightarrow \mathrm{P} \geq 8\]
Dấu bằng khi \(a=b=2\)
Cách 2:
Giả thiết \(\Rightarrow P+2 \sqrt{2} \sqrt{P}-16 \geqslant 0 \Rightarrow(\sqrt{P}-\sqrt{8})(\sqrt{P}+4 \sqrt{2}) \geqslant 0 \Rightarrow P \geq 8\)
Dấu bằng khi \(a=b=2\)
2. Giả thiết cho \(3 b c-a c-a b=1 \Leftrightarrow a c+a b+1=3 b c \Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{1}{b c}=3\).
Đặt \(\dfrac{1}{b}=x, \dfrac{1}{c}=y\), ta có \(a x+a y+x y=3\)
\(\Rightarrow(a+x+y)^2 \geqslant 3(a x+a y+x y)=9 \Rightarrow a+x+y \geqslant 3\)
Lại có \(a^3+x^3+y^3=\left(a^3+2\right)+\left(x^3+2\right)+\left(y^3+2\right)-6 \geqslant 3(a+x+y)-6 \geqslant 3\)
\(\Rightarrow a^3+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3} \geqslant 3\) hay \(a^3 b^3 c^3+b^3+c^3 \geqslant 3 b^3 c^3\)
Cách 2:
Có \(3 b c=a c-a b-1 \Leftrightarrow 3=a d+a e+d e, d=\dfrac{1}{b}, e=\dfrac{1}{c}\)
Cần chứng minh: \(a^3+\dfrac{1}{c^3}+\dfrac{1}{b^3} \geq 3\)
Tương đương với \(a^3+d^3+\mathrm{e}^3 \geq 3\)
Ta có \(3 \leq \dfrac{a^3+d^3+1}{3}+\dfrac{a^3+e^3+1}{3}+\dfrac{d^3+e^3+1}{3} \rightarrow a^3+d^3+\mathrm{e}^3 \geq 3\).
Suy ra điều phải chứng minh
Bài 5
(3 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n > 3\) thì \(A = n^3 - n^2 - n - 2\) không phải là số nguyên tố.
2) Cho \(x, y\) là các số nguyên thỏa mãn \(3xy(x - y) + 1\) chia hết cho 3. Chứng minh \(x + y\) chia hết cho 3.
3) Tìm tất cả các số nguyên \(x, y\) thỏa mãn phương trình: \[ 6x^2 - xy - 2y^2 + 4x + 2y - 7 = 0. \]
Cách giải 1:
1. Ta có \(A=n^3-n^2-n-2=(n-2)\left(n^2+n+1\right)\)
Mà \(n>3\) nên \(n-2>1\) và \(n^2+n+1>1 \Rightarrow A\) là hợp số
2. Do \(x y(x-y)+1 \vdots 3\) nên \(x y(x-y) \div 3 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x \neq 0(\bmod 3) \\ y \neq 0(\bmod 3) \\ x \neq y(\bmod 3)\end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x \equiv 1(\bmod 3) \\ y \equiv 2(\bmod 3)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x \equiv 2(\bmod 3) \\ y \equiv 1(\bmod 3)\end{array}\right.\end{array}\right.\right.\)
\(\Rightarrow x+y: 3\)
3. Ta có
\[\begin{aligned}& 6 x^2-x y-2 y^2+4 x+2 y-7=0 \\ \Leftrightarrow & (2 x+y)(3 x-2 y)+2(2 x+y)-7=0 \\ \Leftrightarrow & (2 x+y)(3 x-2 y+2)=7\end{aligned}\]
Vậy \((x, y)=(1 ;-1)\) là nghiệm duy nhất
Cách 2:
\[\begin{aligned}& 6 x^2+(-y+4) x-2 y^2+2 y-7=0 \\& \Delta=(-y+4)^2-24\left(-2 y^2+2 y-7\right)=49 y^2-56 y+184=(7 y-4)^2+168\end{aligned}\]
Để phương trình có nghiệm nguyên thi \(\Delta\) là số chính phương tồn tại số tự nhiên \(z\) mà :
\[\Delta=z^2 \Rightarrow z^2-(7 y-4)^2=168 \Leftrightarrow(z+7 y-4)(z-7 y+4)=168 ; z>|7 y-4|\]
Do \(z+7 y-4\) và \(z-7 y+4\) cùng tính chẵn lè.
Nên ta xét các trường hợp \(2 \times 84 ; 4 \times 42\) ta có \(x=1, y=-1\) là nghiệm duy nhất
Bài 6
(6 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn \((AB \gt AC\) nội tiếp đường tròn \((O)\), có đường cao \(AH\). Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\). Đường thẳng \(AI\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \((O)\). Đường thẳng \(MK\) cắt các đường thẳng \(AH\) và \(BC\) thứ tự tại \(P\) và \(Q\). Gọi \(F\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\).
a) Chứng minh: \(FA.FM=FH.FQ\).
b) Chứng minh: \(\triangle AKP\) cân.
c) Chứng minh: \(MB^2=MK . MQ\) và tứ giác \(QIHP\) nội tiếp.
d) Đường thẳng \(KI\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm thứ hai là \(D\). Hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(R\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AR\). Chứng minh ba điểm \(Q,I,E) thẳng hàng.
Cách giải 1:
a) Do \(\widehat{A H Q}=\widehat{A M Q}\) nên \(A H M Q\) nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{F A H}=\widehat{F Q M} \Rightarrow \triangle F A H \omega_{\triangle} F Q M\) \(\Rightarrow \frac{F A}{F H}=\frac{F Q}{F M} \Rightarrow F A \cdot F M=F H \cdot F Q\).
b) Goi: \(N=A H \cap(Q) \Rightarrow K N / / B C\) (vì \(K N, B C\) cùng \(\perp A H)\)
\(\Rightarrow B K=C N\) mà \(M\) là điểm chính giữa cung BC nên \(M B=M C\)
\(\Rightarrow M K=M N \Rightarrow \widehat{M A P}=\widehat{M K N}=\widehat{M N K}=\widehat{M A K}\)
mà \(A M \perp K P \Rightarrow \triangle A K P\) cân tại \(A\).
c) \(\widehat{K B M}=\dfrac{1}{2} \mathrm{sd} \overparen{K M}=\dfrac{1}{2} \mathrm{sd} \widehat{M N}=\widehat{M A N}=\widehat{M Q B}\)
\(\Rightarrow M B\) là tiếp tuyến của đường tròn \((\mathrm{QBK}) \Rightarrow M B^2=M K \cdot M Q\)
*Ta có tính chất quen thuộc: \(M I=M B\)
Theo trên: \(M I^2=M P^2=M K \cdot M Q=M P \cdot M Q\)
\(\Rightarrow \widehat{Q I P}=90^{\circ}\) mà \(\widehat{Q H P}=90^{\circ} \Rightarrow\) QIHP nội tiếp
d) Ta có \(\widehat{A R}=90^{\circ}-\widehat{A D D}=90^{\circ}-K I M=90^{\circ}-\widehat{P I M}\)
\(=I \widehat{P Q}=I \widehat{H Q}\)
\(\Rightarrow A I H R\) nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{A I R}=\widehat{A H R}=90^{\circ}\)
Ta có \(\widehat{A I E}=\widehat{D A I}=\widehat{I K M}=\widehat{I P Q}=\widehat{Q I M}\)
\(\Rightarrow Q, I, E\) thẳng hàng