Bài 1
(2 điểm)
a) Cho biểu thức
\[ A=\frac{\sqrt{x}+1}{x+4 \sqrt{x}+4}:\left(\frac{x}{x+2 \sqrt{x}}+\frac{x}{\sqrt{x}+2}\right) \]
với \(x>0\). Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để
\[ A \geq \frac{1}{3 \sqrt{x}}\]
b) Tính giá trị của biểu thức \(B=\sqrt{x^2-6 x+9}+x\) với \(x=3-\sqrt{3}\).
Bài 2
(2 điểm)
a) Nhà Huệ dự định trồng cây su hào trên một mảnh vườn được chia thành nhiều luống và mỗi luống sẽ được trồng một số lượng cây như nhau. Nếu tắng thêm 8 luống và mỗi luống trồng giảm đi 3 cây thì số cây toàn vườn giảm đi 54 cây so với dự định. Nếu giảm đi 4 luống và mỗi luống trồng nhiều hơn 2 cây thì số cây trong toàn vườn sẽ tăng thêm 32 cây so với dự định. Hỏi theo dự định nhà Huệ trồng bao nhiêu cây su hào trên mảnh vườn đó?
b) Giải phương trình \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4 x-3}=x^2-4\)
Bài 3
(1.5 điểm)
a) Từ một hộp có 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30, rút ngẫu nhiên hai thẻ. Tính xác suất để lấy được hai thẻ mà tích hai số trên hai thẻ là một số nguyên tố.
b) Từ tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số lấy được có tổng các chữ số chia hết cho 4 .
Bài 4
(3.5 điểm)
1) Hai con thuyền \(P\) và \(Q\) cách nhau 150 m và thẳng hàng với chân \(B\) của tháp hải đăng ở trên bờ biển. Từ \(P\) và \(Q\) người ta nhìn thấy đỉnh \(A\) của tháp hải đăng dưới các góc \(B P A=30^{\circ}\) và \(B Q A=60^{\circ}\) (tham khảo hình vẽ bên). Tính chiều cao \(A B\) của tháp hải đăng.
2) Cho nửa đường tròn \((O)\), đường kính \(A B\), lấy điểm \(C\) nằm trên nửa đường tròn \((O)\) ( \(C\) khác \(A\) và \(C\) khác \(B\) ). Gọi \(K\) là trung điểm của dây cung \(B C\). Qua \(B\) dựng tiếp tuyến với \((O)\) và cắt \(O K\) tại \(D\).
a) Chứng minh rằng \(A C\) song song với \(O K\).
b) Chứng minh rằng \(D C\) là tiếp tuyến \((O)\).
c) Vẽ \(C H \perp A B\) tại \(H\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(C H\). Tiếp tuyến tại \(A\) của đường tròn \((O)\) cắt \(B I\) tại \(E\). Chứng minh rằng ba điểm \(E, C, D\) thẳng hàng.
Bài 5
(1 điểm)
a) Tìm số nguyên dương \(n\) để \(n^{2027}+n^{2026}+1\) là số nguyên tố.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên \(n\) không vượt quá 2025 sao cho \(n^3+2025\) chia hết cho 6 .