Bài 1
(2 điểm)
1) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} 6(x y+5)+x^3 y+5 x^2=42 \\ x^3+5 x^2 y+6 x+30 y=42 \end{array}\right. \]
2) Giải phương trình
\[ (\sqrt[3]{x+6}+\sqrt[3]{3-x})(2+3 \sqrt[3]{(x+6)(3-x)})=24 \]
Bài 2
(2 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn đẳng thức
\[ 25 y^2+354 x+60=36 x^2+305 y+(5 y-6 x)^{2022} \]
2) Trên bàn có 8 hộp rỗng (trong các hộp không có viên bi nào). Người ta thực hiện các lần thêm bi vào các hộp theo qui tắc sau: mỗi lần ta chọn ra 4 hộp bất kỳ và bỏ vào một hộp 1 viên, một hộp 2 viên, hai hộp còn lại mỗi hộp 3 viên. Hỏi số lần thêm bi ít nhất có thể để nhận được số bi ở 8 hộp trên là 8 số tự nhiên liên tiếp?
Bài 3
(3 điểm)
Cho hình chữ nhật \(A B C D(A B \lt A D)\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\). Trên cạnh \(A D\) lấy hai điểm \(E\) và \(F(E, F\) không trùng với \(A, D)\) sao cho \(E\) nằm giữa \(A\) và \(F\), đồng thời \(\widehat{A B E}+\widehat{D C F}=\dfrac{1}{2} \widehat{B O C}\).
1) Chứng minh rằng \(B E\) và \(C F\) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn \((O)\).
2) Đường thẳng qua \(O\) song song với \(B C\) cắt \(B E, C F\) theo thứ tự tại \(M, N\).
Chứng minh rằng \(\widehat{D A M}+\widehat{A D N}+\dfrac{1}{2} \widehat{A O D}=180^{\circ}\).
3) Dựng hình chữ nhật \(M N P Q\) sao cho \(N Q\) song song với \(B D\), đồng thời \(M P\) song song với \(A C\). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(M N P Q\) tiếp xúc với đường tròn \((O)\).
Bài 4
(1 điểm)
Cho \(a, b, c\) là những số thực dương. Chứng minh rằng
\[ \dfrac{2 a}{a+b}+\dfrac{a+b}{a+c}+\dfrac{6 a+2 c}{3 b+c}+\dfrac{4 a+3 b+c}{b+c} \geq \dfrac{32 a}{2 a+b+c} \]