Bài 1
(2 điểm)
1) Với \(a, b, c\) là những số thực dương thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\). Chứng minh rằng
\[ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a+b c}+\dfrac{1}{b+c a}+\dfrac{1}{c+a b}\right)=\sqrt{\dfrac{a b c}{(a+b c)(b+c a)(c+a b)}} \]
2) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} 2 x^2+3 x y+y^2=6 \\ 3 x+2 y+1=2 \sqrt{2 x+y+6} \end{array}\right. \]
Bài 2
(2 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn đẳng thức
\[ (x+y)(5 x+y)^3+x y^3=(5 x+y)^3+x^2 y^3+x y^4 \]
2) Với \(a, b, c\) là những số thực dương thỏa mãn các điều kiện sau:
\[ \left\{\begin{array}{cc} c \leq b<\mathrm{a} \leq 3, \quad b^2+2 a \leq 10, \quad b^2+2 a+2 c \leq 14, \\ \left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)+4 a b \leq 2 a^3+2 b^3+2 a+2 b . \end{array}\right. \]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[ P=4 a^2+b^4+2 b^2+4 c^2 \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn \((O)\). Điểm \(P\) nằm trong tam giác \(A B C\). Gọi \(E, F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(P\) trên các cạnh \(C A, A B\). Giả sử tứ giác \(B C E F\) nội tiếp trong đường tròn \((K)\).
1) Chứng minh rằng \(A P\) vuông góc \(B C\).
2) Chứng minh rằng \(A P=2 O K\).
3) Đường thẳng qua \(P\) vuông góc với \(A P\) cắt đường tròn \((O)\) tại hai điểm \(Q\) và \(R\). Chứng minh rằng đường tròn tâm \(A\) bán kính \(A P\) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác \(K Q R\).
Bài 4
(1 điểm)
Cho các điểm \(A_1, A_2, \ldots, A_{30}\) theo thứ tự nằm trên một đường thẳng sao cho độ dài các đoạn \(A_k A_{k+1}\) bằng \(k\) (đơn vị dài), với \(k=1,2, \ldots, 29\). Ta tô mầu mỗi đoạn thẳng \(A_1 A_2, A_2 A_3, \ldots, A_{29} A_{30}\) bởi 1 trong 3 mầu (mỗi đoạn được tô bởi đúng 1 mầu). Chứng minh rằng với mọi cách tô mầu, ta luôn chọn được 2 số nguyên dương \(1 \leq j<i \leq 29\) sao cho hai đoạn \(A_i A_{i+1}, A_j A_{j+1}\) được tô cùng mầu và \(i-j\) là bình phương của số nguyên dương.