Bài 1
(2 điểm)
1) Giải phương trình
\[ \sqrt{x^2+6 x+2023}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2+5 x+2025}+\sqrt{5} \]
2) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} (x+6 y)(3 x+2 y)=12, \\ 2 x^3+6 y^3+15 x^2 y+19 y^2 x+x+6 y=12 \end{array}\right. \]
Bài 2
(2 điểm)
1) Giả sử \(n\) là số nguyên sao cho \(3 n^3-1011\) chia hết cho 1008 . Chứng minh rằng \(n-1\) chia hết cho 48.
2) Với \(a, b, c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a b+b c+c a=1\). Chứng minh rằng
\[ \left(1+\dfrac{1}{1+a^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{1+b^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{1+c^2}\right)>4 \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho hai đường tròn \((O)\) và \(\left(O^{\prime}\right)\) cố định cắt nhau tại \(A\) và \(B\) sao cho \(O\) nằm ngoài \(\left(O^{\prime}\right)\) và \(O^{\prime}\) nằm ngoài \((O)\). Trên đường tròn \((O)\) lấy điểm \(P\) di chuyển sao cho \(P\) nằm trong đường tròn \(\left(O^{\prime}\right)\). Đường thẳng \(A P\) cắt \(\left(O^{\prime}\right)\) tại \(C\) khác \(A\).
(1)) Chứng minh rằng hai tam giác \(O B P\) và \(O^{\prime} B C\) dồng dạng.
2) Gọi \(Q\) là giao điểm của hai đường thẳng \(O P\) và \(O^{\prime} C\). Chứng minh rằng \(\widehat{Q B C}+\widehat{A B P}=90^{\circ}\).
3) Lấy điểm \(D\) thuộc \((O)\) sao cho \(A D\) vuông góc \(O^{\prime} C\). Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng \(D Q\) luôn nằm trên một đường tròn cố định khi \(P\) thay đổi.
Bài 4
(1 điểm)
Giả sử \(A\) là tập hợp con của tập hợp gồm 30 số tự nhiên đầu tiên \(\{0,1,2,3, \ldots, 29\}\) sao cho với \(k\) nguyên bất kỳ, \(a, b \in A\) bất kỳ (có thể \(a=b\) ) thì \(a+b+30 k\) không là tích của hai số nguyên liên tiếp. Chứng minh rằng số phần tử của tập hợp \(A\) nhỏ hơn hoặc bằng 10.