Bài 1
(2 điểm)
1) Giải phương trình
\[ 2 x+1+2 \sqrt{4 x^2+6 x}=4 \sqrt{5 x-x^2} \]
2) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} x y(x+y)=30 \\ x^3+y^3=30+\sqrt[3]{x+y+120} \end{array}\right. \]
Bài 2
(2 điểm)
1) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x ; y)\) thỏa mãn
\[ 4^x+\left(1+3^y\right)\left(1+7^y\right)=2^x\left(3^y+7^y+2\right) \]
2) Với \(x, y, z\) là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ M=\dfrac{x^{14}-x^6+3}{x^2 y^2+z x+z y}+\dfrac{y^{14}-y^6+3}{y^2 z^2+x y+x z}+\dfrac{z^{14}-z^6+3}{z^2 x^2+y z+y x} \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) nhọn với \(A B \lt A C\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có tiếp tuyến tại \(A\) của \((O)\) cắt \(B C\) ở \(T\) sao cho \(T B>B C\). Gọi \(P\) và \(E\) lần lượt là trung điểm của \(T A\) và \(T C\).
1) Chứng minh rằng tứ giác \(A P E B\) nội tiếp.
2) Gọi giao điểm thứ hai của \(A E\) với \((O)\) là \(F\). Lấy \(G\) thuộc \((O)\) sao cho \(F G\) song song với \(A C\). Chứng minh rằng \(\widehat{A T G}=\widehat{T A F}\).
3) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C, D\) là giao điểm của \(A H\) và \(B C . M\) là trung điểm \(B C\). K đối xứng với \(A\) qua \(B C\). \(N\) thuộc đường thẳng \(A M\) sao cho \(K N\) song song với \(H M\). Lấy \(S\) thuộc \(B C\) sao cho \(N S \perp N K\). Dựng \(R\) thuộc tia \(A K\) sao cho \(A R \cdot A H=A D^2\). \(Q\) là điểm sao cho \(P Q \perp A S\) và \(S Q \perp A O\). Chứng minh rằng điểm đối \(A R \cdot A H=A D \cdot Q\) uúng của \(A\) qua \(Q R\) thuộc đường tròn đường kính \(D N\). xứng của \(A\) qua \(Q R\) thuộc đường tròn đường kính \(D N\).
Bài 4
(1 điểm)
Viết một trăm số nguyên dương đầu tiên \(1,2,3, \ldots, 100\) vào một bảng ô vuông kích thước \(10 \times 10\) một cách tùy ý sao cho mỗi ô được viết đúng một số. Chứng minh rằng tồn tại hai ô kề nhau ( 2 ô có cạnh chung) mà hai số viết ở hai ô này có hiệu lớn hơn hoặc bằng 10.