Bài 1
(3.5 điểm)
1) Giải phương trình
\[ \dfrac{1}{\sqrt{5 x^2+10 x+30}}+\dfrac{1}{3 \sqrt{x^2-2 x+6}}=\dfrac{1}{3 \sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^4+8 x^2+36}} \]
2) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)(3+x y)=8, \\ \dfrac{x}{y}+\dfrac{2 y}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5 \end{array}\right. \]
Bài 2
(2.5 điểm)
1) Tìm các số nguyên dương \(x, y, z\) thỏa mãn hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} 27 x^3+27 x^2+10 y=(x+3 z)^3 \\ 27 y^3+27 y^2+10 x=(y+3 z)^3 \end{array}\right. \]
2) Với \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
\[ (a+2) b^2+(b+2) c^2+(c+2) a^2 \geq 8+a b c \]
Chứng minh rằng
\[ 2(a b+b c+c a) \leq a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a) \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho hình vuông \(A B C D\). Lấy điểm \(P\) thuộc cạnh \(A B\) ( \(P\) khác \(A\) và \(B\) ). Gọi \(J\) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \(P A D\).
1) Chứng minh rằng tứ giác \(P J D B\) nội tiếp.
2) Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(P J D, S\) là giao điểm của \(J H\) và \(A D\). Chứng minh rằng \(S H=S D\).
3) Gọi \(L\) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \(P B C, K\) là trực tâm của tam giác \(L P C\). Đường tròn nội tiếp của tam giác \(P C D\) tiếp xúc \(C D\) tại \(E\). Lấy \(F\) thuộc đoạn thẳng \(C D\) sao cho \(C F=D E\). Chứng minh rằng tam giác \(F H K\) vuông cân.
Bài 4
(1 điểm)
Cho bảng ô vuông kích thước ( \(2023 \times 2023\) ), ô vuông có kích thước \((1 \times 1)\) được gọi là ô vuông đơn vị. Mỗi ô vuông đơn vị của bảng được tô bằng một trong 2 màu đen hoặc trắng sao cho mỗi ô vuông đơn vị tô màu đen được kề với ít nhất 3 ô vuông đơn vị tô màu trắng ( 2 ô vuông đơn vị có cạnh chung được gọi là kề nhau). Hỏi số ô vuông đơn vị được tô màu đen nhiều nhất là bao nhiêu?