Bài 1
(3.5 điểm)
a) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} x^4+4 y^2-5 x^2 y^2=4 \\ (3 x+4 y-2)\left(x^2+2 y^2-3 x y\right)=4 \end{array}\right. \]
b) Giải phương trình
\[ \sqrt{x}+\sqrt{3-2 x}=1+\sqrt{2-x}+\frac{1}{3} \sqrt{x-1} \]
Bài 2
(2.5 điểm)
a) Tất cả các số nguyên dương \(x, y\) thỏa mãn
\[ (x+y)^3+6 x y+3 y^2+y=8 x^3+9 x^2+1 \]
b) Xét các số thực dương \(x_1, x_2, \ldots, x_{2024}\) thỏa mãn \(x_1 x_2 \cdots x_{2024}=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ P=\left(x_1^2-x_1+1\right)\left(x_2^2-x_2+1\right) \cdots\left(x_{2024}^2-x_{2024}+1\right) \]
Bài 3
(3 điểm)
Cho tam giác \(A B C\) nhọn, không cân nội tiếp đường tròn \((O)\), có \(E, F\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(C A, A B\). Điểm \(P\) di chuyển trên cung nhỏ \(B C(P\) khác \(B, C)\). Gọi \(M, N\) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(P C, P B\) với đường thẳng \(E F\). Các đường thẳng \(A M, A N\) cắt đường tròn \((O)\) theo thứ tự tại \(Q, R(Q, R\) khác \(A)\).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(A F P M\) nội tiếp và \(\angle E P F=\angle Q P R\).
b) Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng \(Q E\) và \(R F\) nằm trên đường tròn \((O)\).
c) Lấy các điểm \(S, T\) lần lượt thuộc các đường thẳng \(C A, A B\) sao cho ba đường thẳng \(E T, F S, A P\) song song với nhau. Gọi \(K\) và \(L\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \(N F S\) và \(M E T\). Đường thẳng qua điểm \(K\) vuông góc với đường thẳng \(A B\) cắt đường thẳng qua điểm \(L\) vuông góc với đường thẳng \(A C\) tại điểm \(J\). Chứng minh rằng điểm \(J\) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm \(P\) thay đổi.
Bài 4
(1 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương \(m\) sao cho có thể cắt hình vuông có cạnh bằng \(m\) thành đúng 5 hình chữ nhật mà độ dài 10 cạnh của 5 hình chữ nhật đó được lấy từ các số \(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\) và mỗi số được lấy đúng một lần.