PHẦN I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời các câu hỏi từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu thí sinh chỉ lựa chọn một phương án duy nhất trong các phương án A, B, C, D được đưa ra.
Bài 1
Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x y+y z+z x=2025\). Giá trị của biểu thức
\[ P=x \sqrt{\frac{\left.\left(2025+y^{2}\right)(2025+z^{2}\right)}{2025+x^{2}}}+y \sqrt{\frac{\left(2025+z^{2}\right)\left(2025+x^{2}\right)}{2025+y^{2}}}+z \sqrt{\frac{\left(2025+x^{2}\right)\left(2025+y^{2}\right)}{2025+z^{2}}} \]
là:
4050
6075
2025
8100
Bài 2
Cho tam giác \(A B C\) nhọn nội tiếp đường tròn tâm \((O)\). Gọi \(B D\) và \(C E\) là hai đường cao của tam giác \(A B C\). Tia \(A O\) cắt \(B C\) tại \(A_{1}\) và cắt cung nhỏ \(B C\) tại \(A_{2}\). Tia \(B O\) cắt \(A C\) tại \(B_{1}\) và cắt cung nhò \(A C\) tại \(B_{2}\). Tia \(C O\) cắt \(A B\) tại \(C_{1}\) và cắt cung nhỏ \(A B\) tại \(C_{2}\). Giá trị của tổng \(\dfrac{A_{1} A_{2}}{A A_{1}}+\dfrac{B_{1} B_{2}}{B B_{1}}+\dfrac{C_{1} C_{2}}{C C_{1}}\) là:
1
2
4
3
Bài 3
Cho đa thức \(f(x)=x^{2024}+a_{2023} x^{2023}+a_{2022} x^{2022}+\ldots+a_{1} x+a_{0}\left(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{2023} \in \mathbb{Z}\right)\) có \(f(\sqrt{7}-2)=20\). Giá trị của đa thức \(f(x)\) tại \(x=-2-\sqrt{7}\) là:
20
10
40
30
Bài 4
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\dfrac{1-4 \sqrt{x}}{2 x+1}-\dfrac{2 x}{x^{2}+1}\) là:
1
-4
-2
0
Bài 5
Cho parapol \((P): y=x^{2}\) và đường thẳng \((d): y=2(m-3) x-m+5\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để \((P)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A, B\) sao cho tọa độ của \(A, B\) là các số nguyên?
2
4
3
1
Bài 6
Gieo một đồng xu cân đối đồng chất ba lần liên tiếp và quan sát sự xuất hiện mặt sấp và mặt ngửa.
Xác suất của biến cố "Mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần" là:
\(\dfrac{7}{8}\)
\(\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{8}{9}\)
Bài 7
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R=3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}\), đường kính \(A B\). Hai điểm \(C, D\) thuộc hai nừa dường tròn đường kính \(A B\). Chu vi tứ giác \(A C B D\) đạt giá trị lớn nhất là:
\(20 \sqrt{2} \mathrm{~cm}\)
32 cm
\(24 \sqrt{2} \mathrm{~cm}\)
24 cm
Bài 8
Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), biết \(A B=6 \mathrm{~cm} . A C=4 \mathrm{~cm}\). dường cao \(A H\). Kẻ \(H E\) vuông góc với \(A B\). Độ dài đoạn thẳng \(H E\) là:
\(\dfrac{36}{\sqrt{13}} \mathrm{~cm}\)
\(\dfrac{18}{1: 3} \mathrm{~cm}\)
\(\dfrac{3(6)}{1: 3} \mathrm{~cm}\)
\(\frac{(6)}{13} \mathrm{~cm}\)
Bài 9
Có bao nhièu cặp số nguyên \(\left(x_{n}: y_{n}\right)\) thỏa mãn phương trình \(2 x y-x+y=3\).
3
4
2
1
Bài 10
Cho \(\triangle A B C\) nhọn nội tiếp \((O: R)\). các đường cao \(A D): B E: C F\) của tam giác \(\triangle A B C\) cắt nhau tại \(H\). Giả sử điểm \(A\) cố địnhh, các điểm \(B\). C thay đồi trên \((O: R)\) thỏa mãn điều kiện \(A B \cdot A C=3 R^{2}\). Khi \(\triangle A B C\) có diện tich lớn nhất, độ dài đoạn thằng \(O F\) là:
\(R\)
\(\dfrac{R}{3}\)
\(\dfrac{R}{2}\)
\(\dfrac{R}{4}\)
Bài 11
Tổng tất cả các số nguyên \(n\) sao cho biểu thức \(\dfrac{n^{3}-n+120}{n^{2}-1}\) nhận giá trị nguyên là:
25
22
23
24
Bài 12
Trong một kỳ thi chọn đội tuyến học sinh giòi của một trường, nếu sắp xếp mỗi phòng thi 12 thi sinh thi còn thừa một em, nếu giảm một phòng thi thi số học sinh được chia đều cho mỗi phòng còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham dự kỳ thi, biết rằng mỗi phòng thi có không quá 24 học sinh?
157
169
145
181
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Thí sinh trả lời các câu hỏi từ câu 13 đến câu 16. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chỉ chọn đúng hoặc sai.
Bài 13
Cho lục giác \(A B C D E F\) có các đinh nằm trên đường tròn \((O)\) đường kính \(A F\) và \(A B=B C=C D=D E=E F\).
a) Đ/S
Biết đường kinh của dường tròn \((O)\) là 5 cm thì \(B E-C D=2.5 \mathrm{~cm}\).
b) Đ/S
Số đo góc \(\widehat{A O C}\) bằng \(70^{\prime \prime}\).
c) Đ/S
Biết đường kính của đường tròn \((O)\) là 5 cm thi diện tich của lục giác \(A B C D E F\) xá́p xỉ \(9.184 \mathrm{~cm}\) (Kết quả làm tròn đến 3 chữ số thập phân sau dấu phẩy)
d) Đ/S
Số đo góc \(B\) bằng \(144^{\prime \prime}\).
Bài 14
Cho tam giác \(A B C\) nhọn, đường cao \(A H\). Gọi \(M . N\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(H\) đến \(A B\) và \(A C\).
a) Đ/S
\(B M \cdot N C+B C \cdot M N=B N \cdot M C\).
b) Đ/S
Trong trường hợp \(\hat{A}=90\) ta có \(\dfrac{H M \cdot H N}{H B \cdot H C}=\dfrac{M N}{B C}\).
c) Đ/S
Cho \(A H=h: \hat{A}=a\). Khi dó \(M N=\dfrac{h}{\sin \alpha}\).
d) Đ/S
\(A M \cdot A B=A N \cdot A C\).
Bài 15
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(O x y\), cho hàm số \(y=x^{2}\) có đồ thị \((P)\) và hàm số \(y=m x+1\) ( \(m\) là tham số) có đồ thị là đường thẳng \(d\).
a) Đ/S
Với hai điểm \(A(-1: 1)\). \(B(3: 9)\) nằm trên \((P)\). Gọi \(M\) là điểm thay đối trên \((P)\) và có hoành độ là \(m(-1
b) Đ/S
Gọi \(m_{1}: m\), là các giá trị của \(m\) đề đường thẳng \(d\) cắt hai trục tọa độ tại hai điểm \(M . N\) sao cho diện tich tam giác \(O M N\) bằng 2 , khi đó \(m_{1}+m_{2}=\dfrac{1}{2}\).
c) Đ/S
Với \(m=2\). đường thẳng \(d\) cắt \((P)\) tại hai điềm phân biệt \(A \cdot B\) có độ dài bằng \(\sqrt{10}\).
d) Đ/S
Đường thẳng \(d\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).
Bài 16
Một lô hàng gồm 10 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B . Lấy ngẫu nhiên 2 sản phầm.
a) Đ/S
Có 45 cách chọn chỉ lấy ra 2 sản phẩm loại A.
b) Đ/S
Có 136 cách lấy ngẫu nhiên 2 sản phầm trong số 17 sản phẩm.
c) Đ/S
Xác suất của biến cố "2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm loại là: \(\dfrac{91}{136}\)
d) Đ/S
Có 90 kết quả thuận lợi của biến cố: "2 sản phẩm lấy ra có it nhất một sản phẩm loại B"
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Thí sinh trả lời các câu hỏi từ câu 17 đến câu 22
Bài 17
Cho \(a, b\) và \(c\) là các số dương thỏa mãn \((a+b)(a+c)=8\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(K=a b c(a+b+c)\) là bao nhiêu?
Bài 18
Cho tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\). đường cao \(A H\) và đường trung tuyến \(A M\) \((H, M \in B C)\). Biết chu vi của tam giác là 72 cm và \(A M-A H=7 \mathrm{~cm}\). Diện tich của \(\triangle A B C\) là bao nhiêu?
Bài 19
Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên tố \((p, q)\) sao cho \((p+q)^{2}+3 p+q\) là số chính phương.
Bài 20
Cho ba điềm \(A, O . B\) thẳng hàng ( \(O\) nằm giữa \(A\) và \(B\) ). Kẻ hai tia \(A x, B y\) cùng vuông góc và cùng phía với \(A B\). Dựng góc vuông \(u O v\), tia \(O u\) cắt \(A x\) tại \(C\), tia \(O v\) cắt \(B y\) tại \(D\). Cho \(O A=1, O B=3\) và \(O C=2\). Diện tích hình thang \(A B D C\) là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 21
Với số thực \(a\) ta địnhh nghĩa phần nguyên của số \(a\) là số nguyên lớn nhất không vượ quá \(a\) và ki hiệu \([a]\). Dãy số \(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)\), được xác định bởi công thức \(x_{n}=\left\lfloor\frac{n+1}{\sqrt{2}}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{\sqrt{2}}\right\rfloor\).
Hỏi trong 2025 số \(\left\{x_{0}: x_{1}: x_{2}: \ldots: x_{2 024}\right\}\) có bao nhiêu số khác 0?
Bài 22
Gọi \(S\) là tập hợp tẩt cả các số tự nhiền có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\). Xác suất chọn được số lớn hơn 2500 là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).