Bài 1
a) Giải phương trình \(x^3-2 x^2+x-6=5(x-1) \sqrt{x}\).
b) Giải hệ phương trình
\[\left\{\begin{array}{l}x+y+z=3 \\x^3+y^3+z^3=x^4+y^4+z^4\end{array}\right.\]
Bài 2
a) Tìm tất cả các số nguyên \(n\) sao cho
\[(n+3)\left(n^2+3 n+3\right)\]
là tích của ba số nguyên tố \(p \gt q \gt r\) thỏa mãn \(p-r=6\).
b) Cho số nguyên dương \(n\) và số nguyên tố \(p \ne n\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) \(\dfrac{p+1}{2}\) cũng là số nguyên số
ii) \(p+n^2\) là ước của \(p^2+n\)
Chứng minh rằng \(p-1\) là số chính phương.
Bài 3
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(M\) là trung điểm \(AB\). Gọi \(D\) là điểm trên đoạn thẳng \(BC\) sao cho \(BD=BA\) và \(P\) là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ADC\) thỏa mãn \(\widehat{APB} = 90^o\).
a) Gọi \(U\) nằm trên đường thẳng \(AP\) sao cho \(BU\) vuông góc với \(MP\). Chứng minh rằng \(\widehat{BAP} = \widehat{UBP}\).
b) Gọi \(V\) là điểm nằm trên \(DP\) sao cho \(BV\) song song với \(MP\). Chứng minh rằng \(PU.BV = BU.PV\).
c) Chứng minh rằng đường thẳng \(CP\) chia đôi đoạn thẳng \(UV\).
Bài 4
a) Cho \(x,y,x\) là các số thực không âm và không đồng thời bằng 0. Đặt
\[P=\frac{x}{y+z}+2 \sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\]
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\).
b) Ba bạn Lãm, Mạnh, Toàn mỗi bạn viết lên bảng một số tự nhiên nhỏ hơn 32. Tính xác suất để tích ba số được viết lên bảng chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 16.
Bài 5
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
\[1!+2!+\ldots+(x+1)!=y^{x+1}\]
b) An và Bình chơi một trò chơi. Ban đầu, có 5000 viên đá trong một đống, và hai người chơi lần lượt lấy đá ra bằng cách thực hiện các lượt chơi. Ở lượt thứ \(k\), người chơi có thể lấy bất kỳ số lượng đá nào từ 1 đến \(k\) (bao gồm cả 1 và \(k\)). An thực hiện các lượt đi lẻ, và Bình thực hiện các lượt đi chẵn. Người chơi lấy viên đá cuối cùng sẽ thắng. Ai sẽ thắng nếu cả hai chơi hoàn hảo?