Bài 1
(7 điểm)
Xét đa thức \(P(x)=x^4-x^3+x\).
a) Chứng minh rằng với mọi số dương \(a\), đa thức \(P(x)-a\) có duy nhất một nghiệm dương.
b) Xét dãy số \(\left(a_n\right)\) được xác định bởi \(a_1=\dfrac{1}{3}\) và với mọi \(n \geq 1, a_{n+1}\) là nghiệm dương của đa thức \(P(x)-a_n\). Chứng minh rằng dãy \(\left(a_n\right)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2
(7 điểm)
Với mỗi số nguyên \(n \geq 0\), đặt \(u_n=(2+\sqrt{5})^n+(2-\sqrt{5})^n\).
a) Chứng minh rằng \(u_n\) là số nguyên dương với mọi \(n \geq 0\). Khi \(n\) thay đổi, số dư của \(u_n\) khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((a, b)\) với \(a, b\) nhỏ hơn 500 sao cho với mọi \(n\) lẻ ta có \(u_n \equiv a^n-b^n(\bmod 1111)\).
Bài 3
(6 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân \(A B C\) nội tiếp đường tròn \((O)\) và có trực tâm \(H\). Đường thẳng \(A H\) cắt lại \((O)\) tại điểm \(D\) khác \(A\). Gọi \(E\) và \(F\) tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng \(A B\) và \(A C\). Đường thẳng đi qua \(H\) và vuông góc với \(H F\) cắt đường thẳng \(B C\) tại điểm \(K\).
a) Đường thẳng \(D K\) cắt lại \((O)\) tại điểm \(Y\) khác \(D\). Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng \(B Y\) và đường trung trực của đoạn thẳng \(B K\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(O F Y\).
b) Đường thẳng đi qua \(H\) và vuông góc với \(H E\) cắt đường thẳng \(B C\) tại điểm \(L\). Đường thẳng \(D L\) cắt lại \((O)\) tại điểm \(Z\) khác \(D\). Gọi \(M, N\) và \(P\) tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng \((B Z, O E),(C Y, O F)\) và \((B Y, C Z)\). Gọi \(T\) là giao điểm của cặp đường thẳng \((Y Z, M N)\) và \(d\) là đường thẳng đi qua \(T\) và vuông góc với \(O A\). Chứng minh rằng \(d\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(A P\).