Bài 1
(7 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân \(A B C\) có các dường cao \(A D, B E, C F\) với \(D \in B C, E \in C A\) và \(F \in A B\). Gọi \(H, O\) và \(I\) tương ứng là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \(A B C, M, N\) và \(P\) tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng \(B C, C A\) và \(A B\). Gọi \(X, Y\) và \(Z\) tương ứng là giao điềm của các cặp đường thẳng \((A I, N P),(B I, P M)\) và \((C I, M N)\).
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(A X D, B Y E, C Z F\) có hai điểm chung nằm trên đường thằng OH .
b) Các đường thẳng \(X P, Y M\) và \(Z N\) tương ứng cắt lại các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(A X D, B Y E\) và \(C Z F\) tại các điểm \(X^{\prime}, Y^{\prime}\) và \(Z^{\prime}\left(X^{\prime} \neq X, Y^{\prime} \neq Y, Z^{\prime} \neq Z\right)\). Gọi \(J\) là điểm đối xưng của \(I\) qua \(O\). Chứng minh rằng \(X^{\prime}, Y^{\prime}\) và \(Z^{\prime}\) cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(H J\).
Bài 2
(7 điểm)
Cho một bảng ô vuông \(3 k \times 3 k\) ( \(k\) là số nguyên dương), các ô của bảng được đánh tọa độ theo cột và hàng: ô \((i ; j)\) nằm trên cột thứ \(i\) từ trái qua phải và trên hàng thứ \(j\) từ dưới lên trên. Người ta muốn đặt \(4 k\) viên bi vào các ô của bảng, mỗi ô có không quá một viên, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
- Mỗi hàng và mỗi cột đều có ít nhất một viên bi;
- Mỗi viên bi nằm cùng hàng hoặc cùng cột với ít nhất một viên bi khác.
a) Xét \(k=1\). Có bao nhiêu cách đặt 4 viên bi vào bảng thỏa mãn các điều kiện trên?
(Hai cách đặt bi được coi là khác nhau nếu có một ô \((i ; j)\) có bi trong một cách đặt nhưng không có bi trong cách còn lại.)
b) Xét \(k \geq 1\) tổng quát. Xác đạnh số tự nhiên \(N\) lớn nhất sao cho với mọi cách đánh đấu \(N\) ô phân biệt trên bảng, luôn tồn tại một cách đặt \(4 k\) viên bi thỏa mãn các điều kiện trên mà không có viên bi nào đặt ở một trong \(N\) ô đã được đánh dấu.
Bài 3
(6 điểm)
Cho \(a, b, c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng
\[\sqrt{3 a^3+4 b c+b+c}+\sqrt{3 b^3+4 c a+c+a}+\sqrt{3 c^3+4 a b+a+b} \geq 9\]