Bài 1
(3 điểm)
1) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} x^2+y^2-x y=1 \\ (x+2 y)\left(1+3 y^2+5 x y\right)=27 \end{array}\right. \]
2) Giải phương trình
\[ \sqrt{7 x^2+2 x+2}+|x+1|=\sqrt{6 x^2+2}+1 \]
Bài 2
(3 điểm)
1) Tim \(x, y\) nguyên thoả mãn
\[ x^3+2 y^3+2 x^2 y+y^2 x+x+2 y=3 \]
2) Với \(x, y, z\) là những số thực thoả mãn
\[ 0 \lt x \leq y \leq z \leq 3, \quad y+z \leq 5, \quad x+y+z \leq 6 \]
Chứng minh rằng
\[ x^2+y^2+z^2 \leq 14 \]
Bài 3
(3 điểm)
Với tứ giác \(A B C D\) lồi có hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(P\). Giả sử \(Q\) là giao điểm thứ hai của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(P A D\) và \(P B C\).
1) Chứng minh rằng hai tam giác \(Q D B\) và \(Q A C\) đồng dạng.
2) Chứng minh rằng \(2 \dfrac{A D}{B C} \leq \dfrac{Q D}{Q C}+\dfrac{Q A}{Q B}\).
3) Gọi \(M\) là trung diểm \(C D\). Giả sử \(Q\) nằm trong tam giác \(P C D\) và \(\angle Q P D=\angle M P C\). Chứng minh rằng \(A B C D\) là hình thang.
Bài 4
(1 điểm)
Giả sử dãy các số \(x_1, x_2, \ldots, x_n(n \geq 7)\) thoả mãn hai tính chất sau
1. Tổng của 7 số bất kỳ nhỏ hơn 15 .
2. Tổng của tất cả \(n\) số bằng 100 .
Hǎy tìm giá trị nhô nhất của n.